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역학, falling chains (원본 보기)

2024년 10월 8일 (화) 23:54 판

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  잡아당기는데, 나머지 질량들이 정지해 있을 수 없다. 즉 모든 질량이 같은 가속력으로 움직여야한다.
  잡아당기는데, 나머지 질량들이 정지해 있을 수 없다. 즉 모든 질량이 같은 가속력으로 움직여야한다.
  나머지 질량이 정지해 있다는 조건 때문에 에너지 보존이 성립하지 않게 된다.   
  나머지 질량이 정지해 있다는 조건 때문에 에너지 보존이 성립하지 않게 된다.   
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  다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
  작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 <math> x </math> )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.
  체인 전체의 운동방정식은
  <math> M \ddot{x}  =  \rho x g  </math>
  가 된다.
  <math> \ddot{x} =  \frac{g}{L} x </math>
  <math>  \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx} = \frac{g}{L} x </math>
  <math>  v dv  =  \frac{g}{L}  x dx </math>
  양변을 적분
  <math>  \frac{v^2}{2} =  \frac{g}{L} \frac{x^2}{2} </math>
  <math>    v^2 =  \frac{g}{L}  x^2 </math>
  예를들어 <math> x = L </math>이면
  <math> v^2 =  gL </math>
  가 되는데,
  에너지 보존이 성립한다.  <math > - \frac{L}{2} M g  = \frac{1}{2} M v^2 </math>
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Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.
  먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.
  이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.
  먼저 <math> \Delta M </math>인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 <math> v </math>가 된다고 하자.
이때 걸린 시간이 <math> \Delta t </math>라고 하자.
  그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로
  <math>  \Delta M  v  = F \Delta t </math >
이다.
  따라서 <math> F = \dot{M} v </math>
  이다.
  여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 <math> F </math>로 속력 <math> v </math>로 물체를 움직이는
것처럼 보이므로 순간 power가 <math> Fv  = \frac{ \Delta M }{\Delta t }  v v = \dot{M} v^2 </math>가 된다.
  그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은
  <math> \frac{1}{2} \Delta M v^2 / (\Delta t) =  \frac{1}{2} \dot{M} v^2  </math>이다.
  그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?
  그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다.
  만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.
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  이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를
생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 <math> L </math> , 선밀도 <math> \rho </math>라고 하자.
  <math> \rho L </math>의 질량이 높이 <math> L/2 </math>에 있으므로
  위치에너지는 <math> MgL /2 </math>
이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.
  이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.
  이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 <math> \Delta M </math>이 v에서 0이 되므로
위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 <math>  \dot{M} v = ( \rho dx )/dt  v  =  \rho v^2 </math>이다.
 
  그럼 <math> v </math>는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
  <math>  v = \sqrt{2gx} </math>  이다.
  따라서 이 힘은 <math > \frac{ 2g M x }{L} </math>
  가 된다.
  또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.
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  그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.
  위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.
  내려온 길이를 <math> x </math>라고 하면
  중력은 <math> \rho g x </math>가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension <math> T </math>를 작용한다고 하면
  <math>  \rho x \ddot{x} =  \rho g x -  T </math>
  가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다.
  따라서 <math>  T =  \dot{M} v </math>가 된다.
  내려가는 부분의 운동방정식은 따라서
  <math>  \rho x \ddot{x} = \rho g x  - \rho \dot{x}^2 </math>
  <math>  \ddot{x} =  g -  \frac{ \dot{x}^2  }{x} </math>
  이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.
  <math>  \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx}  = g - \frac{ \dot{x}^2 }{x} </math>
  <math>  v \frac{dv}{dx}  =  g - \frac{v^2} {x} </math>
  <math>    d(v^2 ) = 2v dv </math>의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.
  <math>  \frac{1}{2} \frac{d u}{dx}  = g - u/x </math>
  <math>  \frac{du}{dx}  + \frac{2}{x} u  = 2g </math>
  <math>  y'  + P y = Q </math>
  <math> I y'  + I P y  = IQ </math>
  <math>  I = e^{ \int P dx }  </math>
  <math>  d/dx ( I y )  = IQ </math>
  <math>  Iy  = \int IQ dx  </math>
  <math>  y=  \frac{ \int IQ dx }{ I } </math>
 
  여기서 <math>  I = e^{ \int  \frac{2}{x}  dx}  =  x^2  </math>
  이므로
 
  <math>  u (x)  =  \frac{1}{x^2}  \int x^2  2 g  dx </math>
  <math>  v (x)  = \sqrt{ \frac{2}{3} g x }  </math>
  초기조건 <math>  x= 0 </math> , <math> v= 0 </math> 임을 상기하라.




Jwlee
관리자

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번

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