역학, falling chains - 편집 역사

2025년 12월 8일 (월) 01:44에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:44:46Z

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	~~falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,~~

	~~라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가~~

	~~<math> v^2 = gx </math>~~

	~~로 나오는 해다.~~

	~~<math> L = \frac{1}{2} \rho x \dot{x}^2 + \frac{1}{2} \rho g x^2 </math>~~

	에서

	~~<math> \frac{\partial L}{\partial \dot{x} } = \rho x \dot{x} </math>~~

	~~<math> \frac{\partial L}{\partial x } = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \rho g x </math>~~

	~~<math> \rho \dot{x}^2 + \rho x \ddot{x} = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \rho g x </math>~~

	~~<math> x \ddot{x} = gx - \frac{1}{2 } \dot{x}^2 </math>~~

	~~가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)~~

	~~도대체 어느 식이 맞는 식일까?~~


	-----		-----

2025년 12월 8일 (월) 01:42에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:42:20Z

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	Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.		Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

	~~먼저 에너지 보존이 되는가의 문제가 있다.~~

2025년 12월 8일 (월) 01:41에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:41:50Z

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	~~다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.~~
	~~줄 전체가 같은 가속도로 움직이는 경우이다.~~

	~~작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 <math> x </math> )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.~~

	~~체인 전체의 운동방정식은~~

	~~<math> M \ddot{x} = \rho x g </math>~~

	~~가 된다.~~

	~~<math> \ddot{x} = \frac{g}{L} x </math>~~

	~~<math> \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx} = \frac{g}{L} x </math>~~

	~~<math> v dv = \frac{g}{L} x dx </math>~~

	~~양변을 적분~~

	~~<math> \frac{v^2}{2} = \frac{g}{L} \frac{x^2}{2} </math>~~

	~~<math> v^2 = \frac{g}{L} x^2 </math>~~

	~~예를들어 <math> x = L </math>이면~~

	~~<math> v^2 = gL </math>~~

	~~가 되는데,~~

	~~에너지 보존이 성립한다. <math > - \frac{L}{2} M g = \frac{1}{2} M v^2 </math>~~

	~~-------~~

2025년 12월 8일 (월) 01:37에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:37:31Z

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	다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.		다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
			줄 전체가 같은 가속도로 움직이는 경우이다.

	작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 <math> x </math> )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.		작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 <math> x </math> )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

2025년 12월 8일 (월) 01:35에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:35:37Z

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			falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

	이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

	라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가		라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가

2025년 12월 8일 (월) 01:33에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:33:39Z

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	~~이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를~~
	~~생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이~~
	~~<math> L </math> , 선밀도~~
	~~<math> \rho </math>~~
	~~라고 하자.~~

	~~<math> \rho L </math>의 질량이 높이 <math> L/2 </math>에 있으므로~~

	~~위치에너지는 <math> MgL /2 </math>~~

	~~이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.~~

	~~<math> x </math> 를 체인이 떨어진 거리라고 하자.~~

	~~이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.~~

	~~이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 <math> \Delta M </math>이 v에서 0이 되므로~~
	~~위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 <math> \dot{M} v = ( \rho dx )/dt v = \rho v^2 </math>이다.~~


	~~그럼 <math> v </math>는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로~~

	~~<math> v = \sqrt{2gx} </math> 이다.~~

	~~따라서 이 힘은 <math > \frac{ 2g M x }{L} </math>~~

	~~가 된다.~~

	~~여기서 생각해 볼 수 있는 것은 이 힘이 한 일이다.~~

	~~<math> - \int_0^L dx F = - g M L </math>~~

	바닥이 한 일이 역학적 에너지 감소량이 아니라 바닥이 한 일이 역학적 에너지 감소량의 2배이다. 따라서 바닥이 한일의 반은 에너지가 소모되었다고 할 수 있다.
	~~이것은 열에너지의 형태로 소진되었다. 따라서 체인이 뜨거워진다.~~

	~~또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.~~

	~~------~~


	~~그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.~~

	~~위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.~~

	~~내려온 길이를 <math> x </math>라고 하면~~

	~~중력은 <math> \rho g x </math>가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension <math> T </math>를 작용한다고 하면~~

	~~<math> \rho x \ddot{x} = \rho g x - T </math>~~

	~~가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다.~~
	~~따라서 <math> T = \dot{M} v </math>가 된다.~~

	~~내려가는 부분의 운동방정식은 따라서~~

	~~<math> \rho x \ddot{x} = \rho g x - \rho \dot{x}^2 </math>~~

	~~<math> \ddot{x} = g - \frac{ \dot{x}^2 }{x} </math>~~

	~~이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.~~

	~~<math> \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx} = g - \frac{ \dot{x}^2 }{x} </math>~~

	~~<math> v \frac{dv}{dx} = g - \frac{v^2} {x} </math>~~

	~~<math> d(v^2 ) = 2v dv </math>의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.~~

	~~<math> \frac{1}{2} \frac{d u}{dx} = g - u/x </math>~~

	~~<math> \frac{du}{dx} + \frac{2}{x} u = 2g </math>~~



	~~<math> y' + P y = Q </math>~~

	~~<math> I y' + I P y = IQ </math>~~

	~~<math> I = e^{ \int P dx } </math>~~

	~~<math> d/dx ( I y ) = IQ </math>~~

	~~<math> Iy = \int IQ dx </math>~~

	~~<math> y= \frac{ \int IQ dx }{ I } </math>~~

	~~여기서 <math> I = e^{ \int \frac{2}{x} dx} = x^2 </math>~~

	~~이므로~~

	~~<math> u (x) = \frac{1}{x^2} \int x^2 2 g dx </math>~~

	~~<math> v (x) = \sqrt{ \frac{2}{3} g x } </math>~~

	~~초기조건 <math> x= 0 </math> , <math> v= 0 </math> 임을 상기하라.~~

	~~L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 <math> \sqrt{ \frac{2}{3} g L } </math>~~

	~~가 된다. 에너지 보존으로 생각하면~~

	~~<math> 0 = \frac{1}{2} M v^2 - M g L/2 </math>~~

	~~가 되므로, <math> v = \sqrt{gL} </math> 가 되어야 될 것 같은데,~~
	~~이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.~~

	~~그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?~~

	~~-----~~

	이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,		이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

2025년 12월 8일 (월) 01:27에 Jwlee님의 편집

2025-12-08T01:27:16Z

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
    Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.
-   먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.
+   먼저 에너지 보존이 되는가의 문제가 있다.
    이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

2025년 11월 24일 (월) 14:03에 Jwlee님의 편집

2025-11-24T14:03:08Z

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	먼저		먼저

	<math> \Delta M</math>		<math> \Delta M </math>

	인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이		인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이

2025년 11월 24일 (월) 14:02에 Jwlee님의 편집

2025-11-24T14:02:23Z

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	먼저		먼저

	<math>\Delta M</math>		<math> \Delta M</math>

	인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이		인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이

2025년 10월 20일 (월) 05:36에 Jwlee님의 편집

2025-10-20T05:36:10Z

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	먼저		먼저

	<math> \Delta M </math>		<math>\Delta M</math>

	인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이		인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이