QFT fir the Gifted Amateur - 편집 역사

2025년 2월 16일 (일) 16:39에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T16:39:35Z

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	[[ 2nd quantization ]]		[[ 2nd quantization ]]

			[[ L and H formalism ]]

Jwlee: 내용을 " 2nd quantization "(으)로 바꿈

2025-02-16T16:25:10Z

내용을 " 2nd quantization "(으)로 바꿈

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	~~Mahan 책에서는 second quantization 부분을 알아서 알고 있는 것으로 놓고 시작한다.~~

	~~There are two ways to introduce the subject of creation and destruction operators for particles~~
	~~The first is to describe their properties and then to omit any proofs.~~

	~~The second way is to go through elaborate justification arguments.~~
	~~These tend to leave the reader more confused than convinced.~~

	~~Here an intermediate approach is tried. A short justification will be attempted.~~
	~~Our discussion follows Schiff (1968).~~

	~~(Mahan, p. 11)~~

	~~Fetter and Walecka, 책에서는 이 부분을 길게 설명하고 있다.~~

	~~QFTGA책에서는 입자들이 모두 다른 상태에 있을 때를 기준으로 설명한다.~~

	~~4장에서 먼저 N 입자의 state를 다음과 같이 쓴다.~~

	~~<math> \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.~~

	~~<math> \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_P \xi^P \| \phi_{ P1 } \cdots \phi_{PN} \rangle </math>~~

	~~결론은~~

	~~<math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>~~
	와

	~~<math> \| \alpha \rangle \langle \beta \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>~~
	~~가 동일하다는 것이다.~~


	~~Act of <math> a^{\dagger } </math>~~

	~~<math> a^{\dagger }_{\alpha} \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \| \alpha \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>~~

	~~<math> \langle \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \| a_{\phi} \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 은, 다음의 conjugate이다.~~

	~~<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| a^{\dagger}_{\phi} \| \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>~~

	~~또한 정의에 의해서~~

	~~<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| \phi \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>~~

	~~이것은~~

	~~<math> \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi_k \| \phi \rangle \langle \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \| \chi_1 \cdots \chi_{N-1} \rangle </math>~~

	~~conjugate를 취하면~~

	~~<math> \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi \| \phi_k \rangle \langle \chi_1 \cdots \chi_{N-1} \| \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>~~

	~~따라서~~
	~~<math> a_{\phi} \| \phi_1 \dots \phi_{N } \rangle = \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>~~

	<math> a^{\dagger}_{\phi ' } a_{\phi} \| \phi_1 \dots \phi_{N } \rangle \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi \| \phi_k \rangle \| \phi' \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>

	이는

	~~<math> \sum_{k} \langle \phi \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \phi' \phi_{k+1} \cdots \phi_N \rangle </math>~~

	~~책에 나와 있는 내용으로는 <math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta} </math> 와 <math> \| \alpha \rangle \langle \beta \| </math> 가 같다고 해놓았다.~~

	~~과연 그런가?~~

	~~그렇지 않은 것으로 보인다. 왜냐면 single state가 어디에 가서 달라 붙는지 정의가 안되기 때문이다.~~

	~~Field operator로 보면~~

	~~<math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) V(x,y) \psi(y) </math>~~

	~~에서 <math> V </math> 가 로컬이면~~

	~~<math> \int dx {\psi}^{\dagger} (x) V(x) \psi(y) </math>~~



	~~-------------~~

	~~그다음~~

	~~two-body operator를 생각해보면~~

	~~<math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) {\psi}^{\dagger} (y) V(x,y) \psi(y) \psi(x) </math>~~

	~~형태가 되는데, x를 먼저 없애고, y를 없애면, y먼저 살리고, x를 살려야 무한대 항들이 나오지 않는다.~~
	~~또한 중간에 sign변화도 없다. 2을 없애고 1를 없애면 2가 1보다 뒤에 있으면, 부호변화가 잘 이루어지는데,~~
	~~이때, 1을 채우고, 다시 2를 채우면, 역시 같은 부호변화가 있어서 상태의 부호가 변화하지 않는다.~~
	~~1이 없는 상태에서 2를 채우면 부호 변화가 있게 된다.~~

	~~이 형태로 양자 상태는 변화가 없으므로 유용하다.~~


	~~----------------~~

	~~Field operator는~~

	~~<math> {\psi}^{\dagger} (x) = \frac{1}{\sqrt{ {\cal V} } } \sum_p e^{- ipx} a^{\dagger}_p </math>~~
	~~로 정의되는데, 이는 정말로 x에 입자를 생성하는 연산자가 된다.~~

	[[ 2nd quantization ]]		[[ 2nd quantization ]]

2025년 2월 16일 (일) 16:23에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T16:23:59Z

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61번째 줄:		61번째 줄:

	<math> \sum_{k} \langle \phi \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \phi' \phi_{k+1} \cdots \phi_N \rangle </math>		<math> \sum_{k} \langle \phi \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \phi' \phi_{k+1} \cdots \phi_N \rangle </math>

			책에 나와 있는 내용으로는 <math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta} </math> 와 <math> \| \alpha \rangle \langle \beta \| </math> 가 같다고 해놓았다.

			과연 그런가?

			그렇지 않은 것으로 보인다. 왜냐면 single state가 어디에 가서 달라 붙는지 정의가 안되기 때문이다.

			Field operator로 보면

			<math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) V(x,y) \psi(y) </math>

			에서 <math> V </math> 가 로컬이면

			<math> \int dx {\psi}^{\dagger} (x) V(x) \psi(y) </math>



			-------------

			그다음

			two-body operator를 생각해보면

			<math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) {\psi}^{\dagger} (y) V(x,y) \psi(y) \psi(x) </math>

			형태가 되는데, x를 먼저 없애고, y를 없애면, y먼저 살리고, x를 살려야 무한대 항들이 나오지 않는다.
			또한 중간에 sign변화도 없다. 2을 없애고 1를 없애면 2가 1보다 뒤에 있으면, 부호변화가 잘 이루어지는데,
			이때, 1을 채우고, 다시 2를 채우면, 역시 같은 부호변화가 있어서 상태의 부호가 변화하지 않는다.
			1이 없는 상태에서 2를 채우면 부호 변화가 있게 된다.

			이 형태로 양자 상태는 변화가 없으므로 유용하다.


			----------------

			Field operator는

			<math> {\psi}^{\dagger} (x) = \frac{1}{\sqrt{ {\cal V} } } \sum_p e^{- ipx} a^{\dagger}_p </math>
			로 정의되는데, 이는 정말로 x에 입자를 생성하는 연산자가 된다.

			[[ 2nd quantization ]]

2025년 2월 16일 (일) 15:36에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T15:36:48Z

@@ 45번째 줄: / 45번째 줄: @@
 <math>  \langle \phi_1 \cdots \phi_N |  \phi  \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>
-이것의 conjugate는
+이것은
-<math> \langle \phi \chi_1 \cdots \chi_{N-1} | \phi_1 \cdots  \phi_N \rangle </math>
+<math> \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi_k | \phi \rangle  \langle \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N | \chi_1 \cdots \chi_{N-1}   \rangle </math>

2025년 2월 16일 (일) 14:17에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T14:17:26Z

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44번째 줄:		44번째 줄:

	<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| \phi \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>		<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| \phi \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>

			이것의 conjugate는

			<math> \langle \phi \chi_1 \cdots \chi_{N-1} \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>

2025년 2월 16일 (일) 14:14에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T14:14:44Z

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22번째 줄:		22번째 줄:
	<math> \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.		<math> \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.

	<math> \sum_P \xi^P \| \phi_{ P1 } \cdots \phi_{PN} \rangle </math>		<math> \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_P \xi^P \| \phi_{ P1 } \cdots \phi_{PN} \rangle </math>

	결론은		결론은

2025년 2월 16일 (일) 09:23에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T09:23:32Z

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27번째 줄:		27번째 줄:

	<math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>		<math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>
			와

			<math> \| \alpha \rangle \langle \beta \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>
			가 동일하다는 것이다.

2025년 2월 16일 (일) 09:13에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T09:13:23Z

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31번째 줄:		31번째 줄:
	Act of <math> a^{\dagger } </math>		Act of <math> a^{\dagger } </math>

	<math> a^{\dagger } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \| \alpha \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>		<math> a^{\dagger }_{\alpha} \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \| \alpha \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>

			<math> \langle \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \| a_{\phi} \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 은, 다음의 conjugate이다.

			<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| a^{\dagger}_{\phi} \| \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>

			또한 정의에 의해서

			<math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N \| \phi \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>

2025년 2월 16일 (일) 09:08에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T09:08:26Z

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30번째 줄:		30번째 줄:

	Act of <math> a^{\dagger } </math>		Act of <math> a^{\dagger } </math>

			<math> a^{\dagger } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \| \alpha \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>

2025년 2월 16일 (일) 09:07에 Jwlee님의 편집

2025-02-16T09:07:44Z

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27번째 줄:		27번째 줄:

	<math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>		<math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } \| \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta \| \phi_k \rangle \| \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>


			Act of <math> a^{\dagger } </math>