EPR

EPR 논문을 쉽게 이해할 수 있는 방법이 없나... 생각하다가 그냥 읽기로 했다.

Chapter 1.

먼저 IT IS REAL! 이라는 주장이다.

Planewave function,

Momentum을 재면,

${\hat {p}}\psi =p_{0}\psi$ 이다.

여기서 EPR의 주장을 한번 생각해 보자. 어떤 물리량을 재는데 상태를 건드리지 않고, 그 물리량을 잴 수 있다면 그 물리량은 REAL이다.

위치를 재면

${\hat {x}}\psi =x_{0}\psi$

가 아니다.

따라서 위치는 REAL이 아니다!

They say "When the momentum of a particle is known, its coordinate has no physical reality."

Chapter 2.

두 시스템이 t=0에서 T까지 서로 상호작용을 한다고 하자. 그리고 T이후에는 상호작용이 없다.

A는 I번 시스템에만 작용하는 operator이고, $u_{n}(x_{1})$ 에 $a_{n}$의 eigenvector와 eigenvalue를 갖는다고 하자.

$\Psi (x_{1})=\sum _{n}c_{n}u_{n}(x_{1})$

Reduction of wave packet의 개념

자 그럼 II번 시스템과 함께 기술하려면 어떻게 해야 할까?

$\Psi (x_{1},x_{2})=\sum _{n}\psi _{n}(x_{2})u_{n}(x_{1})$ 가 타당할 것으로 보인다.

그럼 이제 이 파동함수에 연산자 $A$를 작용한다고 하자. 어떤 특별한 $k$의 상태가 선택되어질 것이고 $a_{k}$의 값이 측정될 것이다. 그때, 바로, 시스템 II의 파동함수는 $\psi _{k}(x_{2})$ 가 선택된다.

이번에는 I번 시스템을 $B$라는 연산자를 작용한다고 하자. 그러면 $v_{n}(x_{1})$, $b_{n}$의 eigenvector와 eigenvalue를 갖는다면, 같은 파동함수 $\Psi (x_{1},x_{2})$는

$\Psi (x_{1},x_{2})=\sum _{n}\varphi (x_{2})v_{n}(x_{1})$ 라고 적어야 한다.

여기서도 마찬가지로 $B$ 로 I을 재면 어떤 $v_{r}(x_{1})$ 가 선택되어지고 측정값은 $b_{r}$가 측정될 것이다. 그때, 시스템 II의 파동항수는 $\varphi _{s}(x_{2})$ 가 된다.

결론적으로 system I을 재면, system II의 상태는 재지 않고도 100% 알 수 있게된다. 그런데, system I을 재는 행위가 어떻게 system II의 상태를 아무 상호작용도 없이, 바꾼다는 말인가?

시스템 I을 A로 재던 B로 재던, I과 II는 이미 상호작용이 끝나서 아무 상호작용도 하지 않으므로, 시스템 I을 재는 것이 II를 재는 것에 영향을 미치지 않아야 한다.

더 나아가서 어떤 한 시스템의 p를 재면, q는 unreal하고, q를 재면, p가 unreal하다고 하였다. 이는 p, q가 $PQ-QP\neq 0$이기 때문이라고 알려져 있다.

그런데, 다음과 같은 $\Psi$ 를 생각해보자.

$\Psi (x_{1},x_{2})=\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {2\pi i}{h}}(x_{1}-x_{2}+x_{0})p}dp$

$\Psi (x_{1},x_{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{p}(x_{2})u_{p}(x_{1})dp$

$\psi _{p}(x_{2})=e^{{\frac {2\pi i}{h}}(-x_{2}+x_{0})p}$ $u_{p}(x_{1})=e^{{\frac {2\pi i}{h}}(px_{1})}$

자 $P_{1}$을 작용하면 eigenvalue는 $p$이다. $P_{2}$는 분명히 $-p$임을 100% 알 수 있다.

마찬가지로 $\Psi (x_{1},x_{2})=h\delta (x_{1}-x_{2}+x_{0})$ 이고, $\Psi (x_{1},x_{2})=h\int dx\delta (x-x_{2}+x_{0})\delta (x-x_{1})dx$ 이것을 $\Psi (x_{1},x_{2})=h\int dx\varphi _{x}(x_{2})v_{x}(x_{1})$ 라고 쓸 수 있다.

그렇다면, $x_{1}$에서 I의 위치를 재면, II는 반드시 $x_{1}+x_{0}$에 있게 된다.

I을 재는 것은 II를 재는 것에 전혀 영향을 줄 수 없는데, I의 무엇을 재느냐에 따라 II에 noncommuting 하는 두 물리량이 모두 real이 되는 결과를 가져온다.

이것은 양자역학의 파동함수로서의 기술이 불완전하다는 뜻이다.