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역학, falling chains (원본 보기)

2025년 12월 8일 (월) 10:44 판

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   Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.
   Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.


   먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.
    
 
 
 
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  이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.


  먼저 <math> \Delta M </math>인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 <math> v </math>가 된다고 하자.
이때 걸린 시간이 <math> \Delta t </math>라고 하자.


   그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로
   다음으로 유명한 문제는 체인이 반으로 접혀 천장에 매달려 있다가 한쪽을 풀어 준 운동이다.


   <math> \Delta M  v  = F \Delta t </math >
   길이가 <math> L </math>라고 할 때, 처음 위치에너지는


이다.
  <math>    - \frac{M}{2} g \frac{L}{4} -  \frac{M}{2} g \frac{L}{4}  =  - Mg \frac{L}{4} </math>


  따라서 <math> F = \dot{M} v </math>
   이다.  
   이다.  


   여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 <math> F </math>로 속력 <math> v </math>로 물체를 움직이는
   최종 에너지는 모든 질량이 곧게 서 있으므로,
것처럼 보이므로 순간 power가 <math> Fv  = \frac{ \Delta M }{\Delta t }  v v = \dot{M} v^2 </math>가 된다.


   그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은
   <math>  - M g \frac{L}{2} </math>


   <math> \frac{1}{2} \Delta M v^2 / (\Delta t) =  \frac{1}{2} \dot{M} v^2  </math>이다.
   즉 에너지가 감소했다.


   그럼 <math> v </math>는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
   이 경우에도 에너지가 감소하는 것을 다음과 같이 생각할 수 있다.
    
  먼저 오른쪽은 자유낙하를 하는데, 오른쪽의 일부 질량이 점점 왼쪽의 질량이 되므로 v의 속도가
   <math>  v = \sqrt{2gx}$ 이다.
  0으로 바꾸어진다. 즉, 왼쪽 체인이 오른쪽의 일부 질량을 위로 당겨서 속력을 0으로 만드는 효과를
  갖는다.
  따라서 이것은 비탄성 충돌에 해당하고, 에너지는 소모되게 된다.
 
 
-----
 
 
  Divided Falling chain의 center of mass
 
  오른쪽 체인이 <math> x </math> 만큼 내려갔을 때,
 
   왼쪽체인은 <math> x/2 </math> 만큼 내려갔고, 오른쪽 체인도 <math> x/2 </math> 만큼 내려갔다.
 
   왼쪽 체인은 따라서 길이가 <math> b/2 + x/2 </math> 이고, 오른쪽 체인의 길이는 <math>  b/2 - x/2 </math> 이다.


   따라서 이 힘은 <math > \frac{ 2g M x }{L} </math>
   따라서 왼쪽 체인의 질량은 <math> \rho ( b/2 + x/2) </math> 이고, 중심의 위치는 <math> \frac{1}{2} ( b/2 + x/2) </math>
이다.


   가 된다.
   오른쪽 체인의 질량은 <math> \rho (b/2 - x/2 ) </math> 이고, 중심의 위치는 <math>  x +  \frac{1}{2} ( b/2 - x/2 ) </math>
이다.


  오른쪽 체인의 중심의 위치는 <math>  \frac{1}{2} ( b/2 +  3x/2 ) </math> 가 된다.


  따라서 CM의 위치는


   그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?
   <math> \frac{1}{M} (  \rho ( b/2 + x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 +  x/2 ) + \rho (b/2 - x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 + 3x/2 ) ) </math>
이고,


  그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다.
이는 <math> \frac{1}{8M}  (  M/b  ( b+ x)^2  + M/b (b-x )(b+ 3x ) ) </math>
  만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.


<math>  \frac{1}{8b} (  2b^2 + 4 bx  - 2x^2 ) </math>


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<math>  \frac{1}{4b}  ( b^2 + 2bx - x^2 ) </math>


<math> P = MV </math>


  이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를
<math> P  = \frac{M}{4b} (  2b \dot{x} -  2 x \dot{x} )  </math>
생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 <math> L </math> , 선밀도 <math> \rho </math>라고 하자.


  <math> \rho L </math>의 질량이 높이 <math> L/2 </math>에 있으므로
<math> P =  \rho \frac{b - x } {2} \dot{x} </math>


  위치에너지는 <math> MgL /2 </math>
로 책과 같은 결과를 준다.


이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.
퍼텐셜 에너지 또한 <math> - M g \frac{1}{4b} ( b^2 + 2bx - x^2 ) =  - \frac{1}{4} \rho g ( b^2 + 2bx - x^2 ) </math>


  이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.
이다.


  이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 <math> \Delta M </math>이 v에서 0이 되므로
  이것을 에너지 보존 풀이에 이용한다.
위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 <math> \dot{M} v = ( \rho dx )/dt  v  =  \rho v^2 </math>이다.
Jwlee
관리자

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번

원본 주소 "https://comphy.mju.ac.kr/juhapruopenwiki/index.php/특수:모바일차이/519...880"

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