"역학, falling chains"의 두 판 사이의 차이

2025년 12월 8일 (월) 10:44 기준 최신판

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 다음으로 유명한 문제는 체인이 반으로 접혀 천장에 매달려 있다가 한쪽을 풀어 준 운동이다.

 길이가 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  L }
라고 할 때, 처음 위치에너지는

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle     - \frac{M}{2} g \frac{L}{4} -  \frac{M}{2} g \frac{L}{4}  =  - Mg \frac{L}{4} }

 이다.

 최종 에너지는 모든 질량이 곧게 서 있으므로,

  $-Mg{\frac {L}{2}}$

 즉 에너지가 감소했다.

 이 경우에도 에너지가 감소하는 것을 다음과 같이 생각할 수 있다.
 먼저 오른쪽은 자유낙하를 하는데, 오른쪽의 일부 질량이 점점 왼쪽의 질량이 되므로 v의 속도가
 0으로 바꾸어진다. 즉, 왼쪽 체인이 오른쪽의 일부 질량을 위로 당겨서 속력을 0으로 만드는 효과를
 갖는다.
 따라서 이것은 비탄성 충돌에 해당하고, 에너지는 소모되게 된다.

 Divided Falling chain의 center of mass

 오른쪽 체인이  $x$  만큼 내려갔을 때,

 왼쪽체인은  $x/2$  만큼 내려갔고, 오른쪽 체인도  $x/2$  만큼 내려갔다.

 왼쪽 체인은 따라서 길이가  $b/2+x/2$  이고, 오른쪽 체인의 길이는  $b/2-x/2$  이다.

 따라서 왼쪽 체인의 질량은  $\rho (b/2+x/2)$  이고, 중심의 위치는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{1}{2} ( b/2 + x/2) }

이다.

 오른쪽 체인의 질량은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \rho (b/2 - x/2 ) }
 이고, 중심의 위치는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   x +  \frac{1}{2} ( b/2 - x/2 ) }

이다.

 오른쪽 체인의 중심의 위치는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \frac{1}{2} ( b/2 +  3x/2 ) }
 가 된다.

 따라서 CM의 위치는

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{1}{M} (  \rho ( b/2 + x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 +  x/2 ) + \rho (b/2 - x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 + 3x/2 ) ) }

이고,

이는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{1}{8M}  (  M/b  ( b+ x)^2  + M/b (b-x )(b+ 3x ) ) }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \frac{1}{8b} (  2b^2 + 4 bx   - 2x^2 ) }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \frac{1}{4b}  ( b^2 + 2bx - x^2 ) }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  P = MV }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  P  = \frac{M}{4b} (  2b \dot{x} -  2 x \dot{x} )  }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  P =  \rho \frac{b - x } {2} \dot{x} }

로 책과 같은 결과를 준다.

퍼텐셜 에너지 또한 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  - M g \frac{1}{4b} ( b^2 + 2bx - x^2 ) =  - \frac{1}{4} \rho g ( b^2 + 2bx - x^2 ) }

이다.

이것을 에너지 보존 풀이에 이용한다.

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
    Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.
-   먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.
+-----
-  이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.
-  먼저 <math> \Delta M </math>인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 <math> v </math>가 된다고 하자.
-이때 걸린 시간이 <math> \Delta t </math>라고 하자.
-   그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로
+   다음으로 유명한 문제는 체인이 반으로 접혀 천장에 매달려 있다가 한쪽을 풀어 준 운동이다.
-   <math>  \Delta M  v  = F \Delta t </math >
+   길이가 <math> L </math>라고 할 때, 처음 위치에너지는
-이다.
+  <math>    - \frac{M}{2} g \frac{L}{4} -  \frac{M}{2} g \frac{L}{4}  =  - Mg \frac{L}{4} </math>
-  따라서 <math> F = \dot{M} v </math>
    이다.
-   여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 <math> F </math>로 속력 <math> v </math>로 물체를 움직이는
+   최종 에너지는 모든 질량이 곧게 서 있으므로,
-것처럼 보이므로 순간 power가 <math> Fv  = \frac{ \Delta M }{\Delta t }  v v = \dot{M} v^2 </math>가 된다.
+  <math>  - M g \frac{L}{2} </math>
+  즉 에너지가 감소했다.
+  이 경우에도 에너지가 감소하는 것을 다음과 같이 생각할 수 있다.
+  먼저 오른쪽은 자유낙하를 하는데, 오른쪽의 일부 질량이 점점 왼쪽의 질량이 되므로 v의 속도가
+으로 바꾸어진다. 즉, 왼쪽 체인이 오른쪽의 일부 질량을 위로 당겨서 속력을 0으로 만드는 효과를
+  갖는다.
+  따라서 이것은 비탄성 충돌에 해당하고, 에너지는 소모되게 된다.
+-----
+  Divided Falling chain의 center of mass
-   그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은
+   오른쪽 체인이 <math> x </math> 만큼 내려갔을 때,
-   <math> \frac{1}{2} \Delta M v^2 / (\Delta t) =  \frac{1}{2} \dot{M} v^2  </math>이다.
+   왼쪽체인은 <math> x/2 </math> 만큼 내려갔고, 오른쪽 체인도 <math> x/2 </math> 만큼 내려갔다.
+  왼쪽 체인은 따라서 길이가 <math> b/2 + x/2 </math> 이고, 오른쪽 체인의 길이는 <math>  b/2 - x/2 </math> 이다.
+  따라서 왼쪽 체인의 질량은 <math> \rho ( b/2 + x/2) </math> 이고, 중심의 위치는 <math> \frac{1}{2} ( b/2 + x/2) </math>
+이다.
-   그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?
+   오른쪽 체인의 질량은 <math> \rho (b/2 - x/2 ) </math> 이고, 중심의 위치는 <math>  x +  \frac{1}{2} ( b/2 - x/2 ) </math>
+이다.
-   그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다.
+   오른쪽 체인의 중심의 위치는 <math>  \frac{1}{2} ( b/2 +  3x/2 ) </math> 가 된다.
-  만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.
+  따라서 CM의 위치는
------
+  <math> \frac{1}{M} (  \rho ( b/2 + x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 +  x/2 ) + \rho (b/2 - x/2 ) \frac{1}{2} ( b/2 + 3x/2 ) ) </math>
+이고,
+ 이는 <math> \frac{1}{8M}  (  M/b  ( b+ x)^2  + M/b (b-x )(b+ 3x ) ) </math>
-  이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를
+ <math>  \frac{1}{8b} (  2b^2 + 4 bx   - 2x^2 ) </math>
-생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 <math> L </math> , 선밀도 <math> \rho </math>라고 하자.
-   <math> \rho L </math>의 질량이 높이 <math> L/2 </math>에 있으므로
+ <math>  \frac{1}{4b}  ( b^2 + 2bx - x^2 ) </math>
-   위치에너지는 <math> MgL /2 </math>
+ <math> P = MV </math>
-이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.
+ <math> P  = \frac{M}{4b} (  2b \dot{x} -  2 x \dot{x} )  </math>
-  이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.
+ <math> P =  \rho \frac{b - x } {2} \dot{x} </math>
-  이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 <math> \Delta M </math>이 v에서 0이 되므로
+  로 책과 같은 결과를 준다.
-위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 <math>  \dot{M} v = ( \rho dx )/dt  v  =  \rho v^2 </math>이다.
+ 퍼텐셜 에너지 또한 <math> - M g \frac{1}{4b} ( b^2 + 2bx - x^2 ) =  - \frac{1}{4} \rho g ( b^2 + 2bx - x^2 ) </math>
-  그럼 <math> v </math>는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
-  <math>  v = \sqrt{2gx} </math>  이다.
-  따라서 이 힘은 <math > \frac{ 2g M x }{L} </math>
+ 이다.
-  가 된다.
+ 이것을 에너지 보존 풀이에 이용한다.

"역학, falling chains"의 두 판 사이의 차이

2025년 12월 8일 (월) 10:44 기준 최신판

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