Black body radiation, 흑체 복사

  먼저 EM wave도 box안에서 planewave이므로

  경계조건에서 

  $k_{x}L=2\pi n_{x}$

  를 만족할 것이다. ${\frac {\omega }{k}}=c$이므로

  $k={\frac {2\pi }{L}}|{\vec {n}}|$

 이고 ${\vec {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})$ 이다.

  어떤 $\omega$ 까지 총 상태는 (n은 정수해이므로 n을 반경으로 한 구의 부피가 가능한 n의 총 갯수일 것이다.)

 ${\frac {4\pi }{3}}|{\vec {n}}|^{3}={\frac {4\pi }{3}}{\frac {L^{3}}{8\pi ^{3}}}{\frac {\omega ^{3}}{c^{3}}}={\frac {L^{3}}{6\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{3}}{c^{3}}}$

이다.

 $[\omega ,\omega +d\omega ]$ 영역에서는

 ${\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}d\omega$

만큼의 상태가 존재한다.

 그러면, 주어진 $\vec{n}$에 대해서 평균 에너지는 어떻게 될까?

 equipartition theorem에 의해서 각 자유도가 갖는 에너지는 단진동 운동과 같으므로, ${\frac {1}{2}}kT$ 의 평균에너지를 갖는다.

 따라서 전자기파의 경우 polarization의 자유도가 2이므로, $kT$의 평균에너지를 갖는다.

 그러므로 $[\omega ,\omega +d\omega ]$ 영역의 에너지 기여는

 ${\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}kTd\omega$

이다.

 Schwartz의 책에서 고전 역학에 의해서 black-body radiation의 에너지/Volume이 ${\omega }^{2}/c^{3}kT$라고 한 이유가 여기 있다.

 양자역학에서 ${\bar {N}}={\frac {1}{e^{\hbar \omega /kT}-1}}$이므로

 양자역학에서는 polarization mode 2 를 곱하고 모드에 0부터 무한개까지 포톤이 들어갈 수 있는데, 평균적으로 ${\bar {N}}$

만큼 들어가므로 평균에너지 또한 ${\bar {N}}\hbar \omega$ 가 된다.

 $2\times {\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /kT}-1}}\times \hbar \omega$ 

가 에너지 스케일이다.

 ${\bar {N}}$는 Grand canonical partition function으로 계산 가능하다.