굴림 마찰력

 지나가듯이 책을 번역하다 보니 굴림 마찰력이라는 부분이 나온다.
 굴림 마찰력은 운동마찰력과 비슷하며 매우 작다는 표현이다.

 그런데 잠깐 생각해 보면, 신기한 점이 있다.

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 먼저 구르는 것에 대해서 좀 생각해 볼 것이 있다. 사실, 일반 물리학을 오래 전에 한 뒤로

학생들에게 회전에 대해서는 아주 전형적인 문제만 다루었던 지라 깊이 있게 생각을 못했던 것 같다.

 생각해보면 원형이 바퀴가 있다고 하면 이것의 운동에 대해서는 많이들 자신있게 안다고 생각한다.

 물체는 다질점계로 이루어져 있으므로 질량 중심을 회전 중심으로 하는 회전 운동과 질량 중심의 병진 운동으로

기술할 수 있다.

 바퀴가 구르는 것은 두 가지 상황이 있는데, 먼저 바퀴가 있는데, 외력이 작용하는 경우이다.
 예를 들면 일반 물리에서 예제로 많이 푸는 문제로 원형 바퀴(관성 모멘트 I)인 물체가 기울어진 빗면에 놓여 

있는 문제를 생각해 보자.

 외력이 질량 중심에 작용하고 있고, 이 경우 외력의 크기는 $mg\sin \theta$이다.
 그렇다면 미끄러짐이 없는 경우는 바퀴가 전체적으로 앞으로 당겨지는 상황이므로 마찰력(여기서는 바닥이 물체에

작용하는 힘)은 $mg\sin \theta$ 즉, 빗면으로 내려가는 방향과 반대가 된다.

  따라서 병진 운동 방정식은

  $mg\sin \theta -f=ma$이다. 

  질량 중심을 회전 중심으로 보았을 때, 토크의 방향은 내려가는 방향으로 회전시키는 토크이므로

$\tau =Rf=I\alpha$

 미끄러지지 않는 조건은 

$R\alpha =a$ 가 된다.

$a={\frac {g\sin \theta }{1+I/mR^{2}}}$

  평평한 곳에서 외력이 작용할 때도 마찬가지다 $g\sin \theta =F/m$ 로 대치하면 된다.

$a={\frac {F/m}{1+I/mR^{2}}}$

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 이번에는 물체의 중심으로부터 r만큼 떨어진 곳에 힘 F를 작용한다.
 마찰력에 대해서는 오른쪽으로 <작용한다고 가정하자. 

 그럼

$F+f=ma$

$rF-Rf=I\alpha$

$r/RF-f=Ia/R^{2}$

$(1+r/R)F=(m+I/R^{2})a$

따라서

$a={\frac {1+r/R}{m+I/R^{2}}}F$

이제 이 답을 이용해서 f를 구해보자.

$f=ma-F={\frac {r/R-I/R^{2}}{m+I/R^{2}}}F$

$r=0$일 때는 $f<0$ 이 됨을 알 수 있고 위의 답과 동일하다. 따라서 이 경우 마찰력은 왼쪽 방향이다.

그런데 $r/R>I/R^{2}$ 가 되면 마찰력이 양으로 변한다.

구형인 물체의 경우 $I=kmR^{2}$이므로

분자가 $m(r/R-k)$

이다. 예를 들어 k=1인 휠의 경우 r은 항상 R보다 작으므로 이 값은 항상 음이다. 따라서 마찰력은 왼쪽 방향이다.

k=1/2인 디스크라면 r=1/2 R에서 마찰력은 0이 됨을 알 수 있다.

r<1/2이면, 마찰력은 뒤방향이고, r>1/2이면 마찰력은 앞방향이 된다.

그럼 자전거를 움직일 때, 힘을 가하는 부분의 길이는 항상 휠의 반경보다 작은데, 어뗳게 마찰력이 앞으로 작용하는 것일까?

이 때는 힘을 위와 같이 특정한 부분에 일정한 힘을 주는 것이 아니라. 체인이 뒷 바퀴의 로터에 토크를 가하는 것으로 볼수 있다.

체인에 감긴 로터는 힘의 크기는 변하고 힘의 합력이 오른쪽 오른쪽 위 방향이 될 것이다. 그렇지만 병진운동의 힘 성분은 트랙션에 의한 힘보다는 작기 때문에, 트랙션에 의한 오른쪽 힘이 병진운동을 일으키는 힘이 된다.

체인과 로터이 맞물림의 개수가 n개라면, 토크의 크기는 F*r*n 이 된다. 수평방향의 힘은 작다. 이 힘이 $\beta F$라고 하자. 

  $rFn-Rf=Ia/R$

  $f+\beta F=ma$

  $a={\frac {nr/R+\beta }{m+I/R^{2}}}F$

가 해가 되고,

  $f=F{\frac {mR^{2}(nr/R-\beta k)}{mR^{2}+I}}$

가 되어서 k<1 이고, beta<<1이므로 f>0이 된다. n=10, r=1/10이면 충분히 f>0이다.

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  자, 이제 다른 상황인 자전거 바퀴나, 철도, 자동차 바퀴 등등을 생각해 보자.
  이 경우, 외력이 작용하는 상황이 아니라, 내부의 동력에 의해서 토크가 작용하고 있는 상황이다.
  토크가 작용하여 물체가 회전을 하면, 지면이나, 철로를 뒤로 밀어 내므로, 지면이나 철로가 바퀴에 작용하는 힘은
 위의 경우와 정반대로 물체의 운동 방향이 된다!!!

  따라서 병진 운동 방정식은 

$f=ma$

  회전 운동 방정식은

$\tau -Rf=I\alpha$ 가 된다.

$a=R\alpha$ 는 미끄러지지 않을 조건이 된다.

 이 두 식을 풀면,

$a={\frac {\tau /R}{m+I/(R^{2})}}$

자전거의 경우

뒷 바퀴에 토크가 작용한다.

$\tau -Rf=I\alpha$

$f-f_{0}=m_{wheel}a$

$f_{0}=m_{body}a$

$R\alpha =a$ 로 운동 방정식을 쓸 수 있다. $f$ 는 바닥이 뒷바퀴에 작용하는 힘이고, $f_{0}$ 는 뒤바퀴와 바디가 서로 작용 반작용하는 힘이다. 축이 연결 되어 있으므로 서로 작용 반작용을 하는데, 같은 가속도로 움직여야 한다.

$a={\frac {\tau /R}{m_{wheel}+m_{body}+I/R^{2}}}$

가 답이 된다.

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마지막으로 구르는데 마찰이 어떻게 작용하는지 생각해 보자.

타이어나, 철도 레일의 변형으로 마찰력은 왼쪽으로 작용해야한다. f>0이라고 놓고

$-f=ma$

그런데, f가 만드는 토크는 회전을 강화하는 방향이다.

$f=I\alpha$

따라서 a>0 인데, </math> \alpha>0 </math> 인 모순이 생긴다.

이것은 타이어의 변형에 의해 수직항력이 접점에 있지 않는 현상으로 설명할 수 있다. 굴러가는 쪽으로 변형이 더 많이 일어나고, 이 때 수직항력은 원의 접점이 아니가 비껴나간 부분에서 위 방향이 되므로 negative torque를 준다. 따라서

$-NR\sin \theta +f=I\alpha =Ia/R$

이 되어서 a<0, $\alpha <0$의 조건이 충족되고, 타이어는 감속 운동하게 된다.

이야, 제로 음료 한잔해~