역학 에너지, orbit equation

$L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})+{\frac {k}{r}}$

방정식은 두 가지가 나오는데,

$\ell =\mu r\times r{\dot {\theta }}$

$\mu {\ddot {r}}=\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{r^{2}}}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}-{\frac {k}{r^{2}}}$

Orbit equation은 ${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=\mu k/\ell ^{2}$

마지막 항의 dimension은 당연히 $[L^{-1}]$ 이다.

$Mk/(M^{2}r^{2}v^{2})=Force/(Mass\times v^{2})=ma/(massv^{2})=L^{-1}$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1/r_{0}=\mu k/\ell ^{2}$

$r_{0}={\frac {\ell ^{2}}{\mu k}}$

$r(\theta )={\frac {r_{0}}{1+\epsilon \cos(\theta )}}$

타원 방정식을 만족하는가의 유무

$r(\theta )$는 초점이므로

$r'+r=2a$

$r'^{2}=(2f+r\cos \theta )^{2}+(r\sin \theta )^{2}$

$f=a\epsilon$ 를 만족하는지 보면 된다.

또한 타원의 성질로부터

$r_{min}+r_{max}=2a={\frac {r_{0}}{1+\epsilon }}+{\frac {r_{0}}{1+\epsilon }}$

$r_{0}=a(1-\epsilon ^{2})$ 이다.

에너지와의 관계식은

$E=-k/(2a)$ 임을 기억하자.