역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 
 $\Delta M$
인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 
 $v$  가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이

 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가

 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$  가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$  이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

 그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

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 이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 $L$ , 선밀도 $\rho$라고 하자.

  $\rho L$의 질량이 높이 $L/2$에 있으므로 

  위치에너지는 $MgL/2$

이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.

 이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.

 이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 $\Delta M$이 v에서 0이 되므로

위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 ${\dot {M}}v=(\rho dx)/dtv=\rho v^{2}$이다.

 그럼 $v$는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
 $v={\sqrt {2gx}}$  이다.

 따라서 이 힘은 ${\frac {2gMx}{L}}$

 가 된다.

 또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.

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 그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 $I=e^{\int {\frac {2}{x}}dx}=x^{2}$

 이므로 
 
 $u(x)={\frac {1}{x^{2}}}\int x^{2}2gdx$

 $v(x)={\sqrt {{\frac {2}{3}}gx}}$ 

 초기조건 $x=0$ , $v=0$ 임을 상기하라. 

 L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 ${\sqrt {{\frac {2}{3}}gL}}$

 가 된다. 에너지 보존으로 생각하면

 $0={\frac {1}{2}}Mv^{2}-MgL/2$

가 되므로, $v={\sqrt {gL}}$ 가 되어야 될 것 같은데,
이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.

그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?

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 이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

 라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가

 $v^{2}=gx$

 로 나오는 해다.

 $L={\frac {1}{2}}\rho x{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}\rho gx^{2}$

에서 

 ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\rho x{\dot {x}}$  

 ${\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $\rho {\dot {x}}^{2}+\rho x{\ddot {x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $x{\ddot {x}}=gx-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

 가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)

 도대체 어느 식이 맞는 식일까?

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 다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 $x$ )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

 체인 전체의 운동방정식은

 $M{\ddot {x}}=\rho xg$

 가 된다.

 ${\ddot {x}}={\frac {g}{L}}x$ 

 ${\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}={\frac {g}{L}}x$

 $vdv={\frac {g}{L}}xdx$

 양변을 적분 

 ${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {g}{L}}{\frac {x^{2}}{2}}$

 $v^{2}={\frac {g}{L}}x^{2}$

 예를들어 $x=L$이면

 $v^{2}=gL$

 가 되는데, 

 에너지 보존이 성립한다.  $-{\frac {L}{2}}Mg={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

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 다음으로 유명한 문제는 체인이 반으로 접혀 천장에 매달려 있다가 한쪽을 풀어 준 운동이다.

 길이가 $L$라고 할 때, 처음 위치에너지는

 $-{\frac {M}{2}}g{\frac {L}{4}}-{\frac {M}{2}}g{\frac {L}{4}}=-Mg{\frac {L}{4}}$

 이다. 

 최종 에너지는 모든 질량이 곧게 서 있으므로,

 $-Mg{\frac {L}{2}}$

 즉 에너지가 감소했다.

 이 경우에도 에너지가 감소하는 것을 다음과 같이 생각할 수 있다.
 먼저 오른쪽은 자유낙하를 하는데, 오른쪽의 일부 질량이 점점 왼쪽의 질량이 되므로 v의 속도가
 0으로 바꾸어진다. 즉, 왼쪽 체인이 오른쪽의 일부 질량을 위로 당겨서 속력을 0으로 만드는 효과를
 갖는다.
 따라서 이것은 비탄성 충돌에 해당하고, 에너지는 소모되게 된다.

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 Divided Falling chain의 center of mass

 오른쪽 체인이 $x$ 만큼 내려갔을 때,

 왼쪽체인은 $x/2$ 만큼 내려갔고, 오른쪽 체인도 $x/2$ 만큼 내려갔다.

 왼쪽 체인은 따라서 길이가 $b/2+x/2$ 이고, 오른쪽 체인의 길이는 $b/2-x/2$ 이다.

 따라서 왼쪽 체인의 질량은 $\rho (b/2+x/2)$ 이고, 중심의 위치는 ${\frac {1}{2}}(b/2+x/2)$

이다.

 오른쪽 체인의 질량은 $\rho (b/2-x/2)$ 이고, 중심의 위치는 $x+{\frac {1}{2}}(b/2-x/2)$

이다.

 오른쪽 체인의 중심의 위치는 ${\frac {1}{2}}(b/2+3x/2)$ 가 된다.

 따라서 CM의 위치는

 ${\frac {1}{M}}(\rho (b/2+x/2){\frac {1}{2}}(b/2+x/2)+\rho (b/2-x/2){\frac {1}{2}}(b/2+3x/2))$

이고,

이는 ${\frac {1}{8M}}(M/b(b+x)^{2}+M/b(b-x)(b+3x))$

${\frac {1}{8b}}(2b^{2}+4bx-2x^{2})$

${\frac {1}{4b}}(b^{2}+2bx-x^{2})$

$P=MV$

$P={\frac {M}{4b}}(2b{\dot {x}}-2x{\dot {x}})$

$P=\rho {\frac {b-x}{2}}{\dot {x}}$

로 책과 같은 결과를 준다.

퍼텐셜 에너지 또한 $-Mg{\frac {1}{4b}}(b^{2}+2bx-x^{2})=-{\frac {1}{4}}\rho g(b^{2}+2bx-x^{2})$

이다.

이것을 에너지 보존 풀이에 이용한다.