역학, falling chain2

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 

$\Delta M$

인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이

$v$ 가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이

$\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

$\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 

$F$

로 속력

로 물체를 움직이는 것처럼 보이므로 순간 power가

 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$  가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$  이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

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이것을 충돌로도 이해를 할 수가 있다. 컨베이어 벨트는 계속 $v$로 이동하고 있는데,

컨베이어 벨트와 같은 속도로 가고 있는 프레임에서는 떨어지는 물체가 $-v$로 달려와서 속도가 0으로 바뀌는 것이라고 볼 수 있다. 이 경우 명백하게 완전 비탄성 충돌에 해당한다. 따라서 에너지의 손실이 생겼을 것이다.