역행렬 구하기

  참고 문헌 : Zee의 group theory in a nutshell for physicists. 

  물리가 근본이긴 하지.
  아무도 인정하지 않더라도.

  $n\times n$ 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 익혀보자.

  $M^{-1}=1/|M|adj(M)=1/|M|C^{T}$
  이고, $C$ 는 cofactor matrix이다.

  $C_{ij}=(-1)^{i+j}|A|$

  $A$ 는 i th row와 j th column을 제거한 행렬이다.

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  행렬식의 성질

  행렬식을 각 행, 또는 각 열의 element의 linear combination으로 쓸 수 있다.

  라플라스 전개라고 한다.

  $aA+bB=cC+dD=aA+cC=bB+dD$

  정확히 $A$ 는 a의 cofactor이다. 

  $M$ 을 upper triagular로 변형했으면,

  $det(B)=\lambda _{1}\cdots \lambda _{n}$

  diagonal element들의 곱이 행렬식이다.

 (첫 열의 element로 linear combination으로 쓸 수 있으므로)

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 코팩터의 개념을 좀 더 확장시켜서 이해할 필요가 있다.

 ${\cal {D}}$ 를 행렬식이라고 하자.

 행렬식은 어떤 한 특정 행이나, 열의 원소들의 선형결합으로 쓸 수 있다.

 ${\cal {D}}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}$

  ${\cal {D}}=a_{21}C_{21}+a_{22}C_{22}+\cdots +a_{2n}C_{2n}$ 

 $AC^{T}={\cal {D}}I$ 

 의 증명은 위의 식에서 diagonal term들은 쉽게 이해가 간다.
 문제는 offdiagonal term들이 0이 되는 것을 증명해야하는데,

 선형대수에서는 다양한 방법으로 증명을 한다.

 그런데 가장 쉽게 이해할 수 있는 방법은 

 $a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}+\cdots +a_{1n}C_{2n}=0$

이 되는가를 묻는 것이다. 그런데 이것은 위에 약간 힌트가 있다.

 $a_{1j}=a_{2j}$ 라고 한다면 이것은 이 행렬의 Determinant가 되는데,

 두 행이 일치하므로 이 새로운 행렬의 행렬식은 0이 된다.

 따라서 offdiagonal term이 모두 0임은 자명하다.