역학 에너지, orbit equation

$L={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})+{\frac {k}{r}}$

방정식은 두 가지가 나오는데,

$\ell =\mu r\times r{\dot {\theta }}$

$\mu {\ddot {r}}=\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{r^{2}}}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}-{\frac {k}{r^{2}}}$

Orbit equation은 ${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=\mu k/\ell ^{2}$

마지막 항의 dimension은 당연히 $[L^{-1}]$ 이다.

$Mk/(M^{2}r^{2}v^{2})=Force/(Mass\times v^{2})=ma/(massv^{2})=L^{-1}$

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=1/r_{0}=\mu k/\ell ^{2}$

$r_{0}={\frac {\ell ^{2}}{\mu k}}$