역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 $\Delta M$인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 $v$가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

 그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

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 이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 $L$ , 선밀도 $\rho$라고 하자.

  $\rho L$의 질량이 높이 $L/2$에 있으므로 

  위치에너지는 $MgL/2$

이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.

 이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.

 이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 $\Delta M$이 v에서 0이 되므로

위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 ${\dot {M}}v=(\rho dx)/dtv=\rho v^{2}$이다.