역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 $\Delta M$인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 $v$가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

 그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

---

 이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 $L$ , 선밀도 $\rho$라고 하자.

  $\rho L$의 질량이 높이 $L/2$에 있으므로 

  위치에너지는 $MgL/2$

이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.

 이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.

 이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 $\Delta M$이 v에서 0이 되므로

위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 ${\dot {M}}v=(\rho dx)/dtv=\rho v^{2}$이다.

 그럼 $v$는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
 $v={\sqrt {2gx}}$  이다.

 따라서 이 힘은 ${\frac {2gMx}{L}}$

 가 된다.

 또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.

---

 그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 $I=e^{\int {\frac {2}{x}}dx}=x^{2}$

 이므로 
 
 $u(x)={\frac {1}{x^{2}}}\int x^{2}2gdx$

 $v(x)={\sqrt {{\frac {2}{3}}gx}}$ 

 초기조건 $x=0$ , $v=0$ 임을 상기하라. 

 L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 ${\sqrt {{\frac {2}{3}}gL}}$

 가 된다. 에너지 보존으로 생각하면

 0 =  \frac{1}{2} M v^2  -  M g L/2 </math>

가 되므로, $v={\sqrt {gL}}$ 가 되어야 될 것 같은데,
이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.

그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?

정지해 있던 체인의 일부는 중력에 의해서 가속된다. 마치 중력이 컨베이어 벨트의 역할을 하는 것이다.
그러면, 중력이 일을하는데, 문제는 정지해 있던 조그마한 질량만이 갑자기 0에서 v의 속력으로 변한다.
이 힘의 반작용으로서 밑으로 나온 부분에 장력을 작용하게 된다. 
그렇다면, 면과 조그마한 질량은 상대적인 움직임이 있다는 것이다. 만약 마찰이 없다면, 이 체인은 밑에서
잡아당기는데, 나머지 질량들이 정지해 있을 수 없다. 즉 모든 질량이 같은 가속력으로 움직여야한다.
나머지 질량이 정지해 있다는 조건 때문에 에너지 보존이 성립하지 않게 된다.  

---

 다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 $x$ )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

 체인 전체의 운동방정식은

 $M{\ddot {x}}=\rho xg$

 가 된다.

 ${\ddot {x}}={\frac {g}{L}}x$ 

 ${\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}={\frac {g}{L}}x$

 $vdv={\frac {g}{L}}xdx$

 양변을 적분 

 ${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {g}{L}}{\frac {x^{2}}{2}}$

 $v^{2}={\frac {g}{L}}x^{2}$

 예를들어 $x=L$이면

 $v^{2}=gL$

 가 되는데, 

 에너지 보존이 성립한다.  $-{\frac {L}{2}}Mg={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

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Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 $\Delta M$인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 $v$가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

 그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

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 이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 $L$ , 선밀도 $\rho$라고 하자.

  $\rho L$의 질량이 높이 $L/2$에 있으므로 

  위치에너지는 $MgL/2$

이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.

 이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.

 이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 $\Delta M$이 v에서 0이 되므로

위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 ${\dot {M}}v=(\rho dx)/dtv=\rho v^{2}$이다.

 그럼 $v$는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
 $v={\sqrt {2gx}}$  이다.

 따라서 이 힘은 ${\frac {2gMx}{L}}$

 가 된다.

 또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.

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 그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 $I=e^{\int {\frac {2}{x}}dx}=x^{2}$

 이므로 
 
 $u(x)={\frac {1}{x^{2}}}\int x^{2}2gdx$

 $v(x)={\sqrt {{\frac {2}{3}}gx}}$ 

 초기조건 $x=0$ , $v=0$ 임을 상기하라. 

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 다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 $x$ )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

 체인 전체의 운동방정식은

 $M{\ddot {x}}=\rho xg$

 가 된다.

 ${\ddot {x}}={\frac {g}{L}}x$ 

 ${\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}={\frac {g}{L}}x$

 $vdv={\frac {g}{L}}xdx$

 양변을 적분 

 ${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {g}{L}}{\frac {x^{2}}{2}}$

 $v^{2}={\frac {g}{L}}x^{2}$

 예를들어 $x=L$이면

 $v^{2}=gL$

 가 되는데, 

 에너지 보존이 성립한다.  $-{\frac {L}{2}}Mg={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

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