QFT fir the Gifted Amateur

Mahan 책에서는 second quantization 부분을 알아서 알고 있는 것으로 놓고 시작한다.

There are two ways to introduce the subject of creation and destruction operators for particles
The first is to describe their properties and then to omit any proofs.

The second way is to go through elaborate justification arguments.
These tend to leave the reader more confused than convinced.

Here an intermediate approach is tried. A short justification will be attempted. 
Our discussion follows Schiff (1968).

 (Mahan, p. 11)

Fetter and Walecka, 책에서는 이 부분을 길게 설명하고 있다.

 QFTGA책에서는 입자들이 모두 다른 상태에 있을 때를 기준으로 설명한다.

 4장에서 먼저 N 입자의 state를 다음과 같이 쓴다.

$|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$ 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.

$\sum _{P}\xi ^{P}|\phi _{P1}\cdots \phi _{PN}\rangle$

결론은

$a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle =\sum _{k}\langle \beta |\phi _{k}\rangle |\phi _{1}\cdots \phi _{k-1}\alpha \cdots \phi _{N}\rangle$

Act of $a^{\dagger }$

$a_{\alpha }^{\dagger }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle =|\alpha \phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$

$\langle \chi _{1}\dots \chi _{N-1}|a_{\phi }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$ 은, 다음의 conjugate이다.

$\langle \phi _{1}\cdots \phi _{N}|a_{\phi }^{\dagger }|\chi _{1}\dots \chi _{N-1}\rangle$

또한 정의에 의해서

$\langle \phi _{1}\cdots \phi _{N}|\phi \chi _{1}\dots \chi _{N-1}\rangle$