역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

 라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가

 $v^{2}=gx$

 로 나오는 해다.

 $L={\frac {1}{2}}\rho x{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}\rho gx^{2}$

에서 

 ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\rho x{\dot {x}}$  

 ${\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $\rho {\dot {x}}^{2}+\rho x{\ddot {x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $x{\ddot {x}}=gx-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

 가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)

 도대체 어느 식이 맞는 식일까?

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 다음으로 유명한 문제는 체인이 반으로 접혀 천장에 매달려 있다가 한쪽을 풀어 준 운동이다.

 길이가 $L$라고 할 때, 처음 위치에너지는

 $-{\frac {M}{2}}g{\frac {L}{4}}-{\frac {M}{2}}g{\frac {L}{4}}=-Mg{\frac {L}{4}}$

 이다. 

 최종 에너지는 모든 질량이 곧게 서 있으므로,

 $-Mg{\frac {L}{2}}$

 즉 에너지가 감소했다.

 이 경우에도 에너지가 감소하는 것을 다음과 같이 생각할 수 있다.
 먼저 오른쪽은 자유낙하를 하는데, 오른쪽의 일부 질량이 점점 왼쪽의 질량이 되므로 v의 속도가
 0으로 바꾸어진다. 즉, 왼쪽 체인이 오른쪽의 일부 질량을 위로 당겨서 속력을 0으로 만드는 효과를
 갖는다.
 따라서 이것은 비탄성 충돌에 해당하고, 에너지는 소모되게 된다.

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 Divided Falling chain의 center of mass

 오른쪽 체인이 $x$ 만큼 내려갔을 때,

 왼쪽체인은 $x/2$ 만큼 내려갔고, 오른쪽 체인도 $x/2$ 만큼 내려갔다.

 왼쪽 체인은 따라서 길이가 $b/2+x/2$ 이고, 오른쪽 체인의 길이는 $b/2-x/2$ 이다.

 따라서 왼쪽 체인의 질량은 $\rho (b/2+x/2)$ 이고, 중심의 위치는 ${\frac {1}{2}}(b/2+x/2)$

이다.

 오른쪽 체인의 질량은 $\rho (b/2-x/2)$ 이고, 중심의 위치는 $x+{\frac {1}{2}}(b/2-x/2)$

이다.

 오른쪽 체인의 중심의 위치는 ${\frac {1}{2}}(b/2+3x/2)$ 가 된다.

 따라서 CM의 위치는

 ${\frac {1}{M}}(\rho (b/2+x/2){\frac {1}{2}}(b/2+x/2)+\rho (b/2-x/2){\frac {1}{2}}(b/2+3x/2))$

이고,

이는 ${\frac {1}{8M}}(M/b(b+x)^{2}+M/b(b-x)(b+3x))$

${\frac {1}{8b}}(2b^{2}+4bx-2x^{2})$

${\frac {1}{4b}}(b^{2}+2bx-x^{2})$

$P=MV$

$P={\frac {M}{4b}}(2b{\dot {x}}-2x{\dot {x}})$

$P=\rho {\frac {b-x}{2}}{\dot {x}}$

로 책과 같은 결과를 준다.

퍼텐셜 에너지 또한 $-Mg{\frac {1}{4b}}(b^{2}+2bx-x^{2})=-{\frac {1}{4}}\rho g(b^{2}+2bx-x^{2})$

이다.

이것을 에너지 보존 풀이에 이용한다.