Black body radiation, 흑체 복사

  먼저 EM wave도 box안에서 planewave이므로

  경계조건에서 

  구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle    k_x L = 2 \pi n_x }

  를 만족할 것이다. 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{\omega}{k} = c }
이므로

  구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  k = \frac{ 2 \pi }{L} | \vec{n} | }

 이고 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \vec{n} = (n_x, n_y, n_z ) }
 이다.

  어떤 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \omega }
 까지 총 상태는 (n은 정수해이므로 n을 반경으로 한 구의 부피가 가능한 n의 총 갯수일 것이다.)

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{4 \pi }{3} |\vec{n}  |^3    =  \frac{4 \pi}{3} \frac{L^3} {8 \pi^3} \frac{\omega^3}{c^3} = \frac{L^3}{6\pi^2 } \frac{\omega^3}{c^3} }

이다.

 $[\omega ,\omega +d\omega ]$ 영역에서는

 ${\frac {L^{3}}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}d\omega$

만큼의 상태가 존재한다.

 그러면, 주어진 $\vec{n}$에 대해서 평균 에너지는 어떻게 될까?

 equipartition theorem에 의해서 각 자유도가 갖는 에너지는 단진동 운동과 같으므로, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{1}{2} kT }
 의 평균에너지를 갖는다.

 따라서 전자기파의 경우 polarization의 자유도가 2이므로, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  kT }
의 평균에너지를 갖는다.

 그러므로 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  [\omega, \omega + d \omega ] }
 영역의 에너지 기여는

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \frac{L^3} {2 \pi^2 }  \frac{ \omega^2}{  c^3}  kT d \omega }

이다.

 Schwartz의 책에서 고전 역학에 의해서 black-body radiation의 에너지/Volume이 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  {\omega} ^2 / c^3 k T }
라고 한 이유가 여기 있다.

 양자역학에서 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \bar{N} =  \frac{1}{e^{ \hbar \omega /kT} - 1 } }
이므로

 양자역학에서는 polarization mode 2 를 곱하고 모드에 0부터 무한개까지 포톤이 들어갈 수 있는데, 평균적으로 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \bar{N} }

만큼 들어가므로 평균에너지 또한 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \bar{N} \hbar \omega } 가 된다.

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  2\times \frac{L^3}{2 \pi^2 } \frac{ \omega^2 } {c^3}  \frac{1}{ e^{\hbar \omega / kT} - 1 } \times \hbar \omega }
 

가 에너지 스케일이다.