굴림 마찰력

 지나가듯이 책을 번역하다 보니 굴림 마찰력이라는 부분이 나온다.
 굴림 마찰력은 운동마찰력과 비슷하며 매우 작다는 표현이다.

 그런데 잠깐 생각해 보면, 신기한 점이 있다.

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 먼저 구르는 것에 대해서 좀 생각해 볼 것이 있다. 사실, 일반 물리학을 오래 전에 한 뒤로

학생들에게 회전에 대해서는 아주 전형적인 문제만 다루었던 지라 깊이 있게 생각을 못했던 것 같다.

 생각해보면 원형이 바퀴가 있다고 하면 이것의 운동에 대해서는 많이들 자신있게 안다고 생각한다.

 물체는 다질점계로 이루어져 있으므로 질량 중심을 회전 중심으로 하는 회전 운동과 질량 중심의 병진 운동으로

기술할 수 있다.

 바퀴가 구르는 것은 두 가지 상황이 있는데, 먼저 바퀴가 있는데, 외력이 작용하는 경우이다.
 예를 들면 일반 물리에서 예제로 많이 푸는 문제로 원형 바퀴(관성 모멘트 I)인 물체가 기울어진 빗면에 놓여 

있는 문제를 생각해 보자.

 외력이 질량 중심에 작용하고 있고, 이 경우 외력의 크기는 $mg\sin \theta$이다.
 그렇다면 미끄러짐이 없는 경우는 바퀴가 전체적으로 앞으로 당겨지는 상황이므로 마찰력(여기서는 바닥이 물체에

작용하는 힘)은 $mg\sin \theta$ 즉, 빗면으로 내려가는 방향과 반대가 된다.

  따라서 병진 운동 방정식은

  $mg\sin \theta -f=ma$이다. 

  질량 중심을 회전 중심으로 보았을 때, 토크의 방향은 내려가는 방향으로 회전시키는 토크이므로

$\tau =Rf=I\alpha$

 미끄러지지 않는 조건은 

$R\alpha =a$ 가 된다.

$a={\frac {g\sin \theta }{1+I/mR^{2}}}$

  자, 이제 다른 상황인 자전거 바퀴나, 철도, 자동차 바퀴 등등을 생각해 보자.
  이 경우, 외력이 작용하는 상황이 아니라, 내부의 동력에 의해서 토크가 작용하고 있는 상황이다.
  토크가 작용하여 물체가 회전을 하면, 지면이나, 철로를 뒤로 밀어 내므로, 지면이나 철로가 바퀴에 작용하는 힘은
 위의 경우와 정반대로 물체의 운동 방향이 된다!!!

  따라서 병진 운동 방정식은 

$f=ma$

  회전 운동 방정식은

$\tau -Rf=I\alpha$ 가 된다.

$a=R\alpha$ 는 미끄러지지 않을 조건이 된다.

 이 두 식을 풀면,

$a={\frac {\tau /R}{1+I/(mR^{2})}}$

자전거의 경우

뒷 바퀴에 토크가 작용한다.

$\tau -Rf=I\alpha$

$f-f_{0}=m_{wheel}a$

$f_{0}=m_{body}a$

$R\alpha =a$ 로 운동 방정식을 쓸 수 있다. $f$ 는 바닥이 뒷바퀴에 작용하는 힘이고, $f_{0}$ 는 뒤바퀴와 바디가 서로 작용 반작용하는 힘이다. 축이 연결 되어 있으므로 서로 작용 반작용을 하는데, 같은 가속도로 움직여야 한다.

$a={\frac {\tau /R}{1+I/(m_{wheel}+m_{body})}}$

가 답이 된다.

캬, 한잔해~

<math> a = \frac{ \tau/R} {1+ I