역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 $\Delta M$인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 $v$가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$이다.

 그럼 컨베이어 벨트의 일률 중 1/2은 어디로 간 걸까?

 그것은 마찰로 손실이 되었다고 할 수 있다. 
 만약에 마찰이 없다면, 물체가 떨어져도 물체는 계속 그 자리에 있게 된다.

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 이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를

생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이 $L$ , 선밀도 $\rho$라고 하자.

  $\rho L$의 질량이 높이 $L/2$에 있으므로 

  위치에너지는 $MgL/2$

이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.

 이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.

 이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 $\Delta M$이 v에서 0이 되므로

위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 ${\dot {M}}v=(\rho dx)/dtv=\rho v^{2}$이다.

 그럼 $v$는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
 $v={\sqrt {2gx}}$  이다.

 따라서 이 힘은 ${\frac {2gMx}{L}}$

 가 된다.

 또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.

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 그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 $I=e^{\int {\frac {2}{x}}dx}=x^{2}$

 이므로 
 
 $u(x)={\frac {1}{x^{2}}}\int x^{2}2gdx$

 $v(x)={\sqrt {{\frac {2}{3}}gx}}$ 

 초기조건 $x=0$ , $v=0$ 임을 상기하라. 

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 다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 $x$ )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

 체인 전체의 운동방정식은

 $M{\ddot {x}}=\rho xg$

 가 된다.

 ${\ddot {x}}={\frac {g}{L}}x$ 

 ${\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}={\frac {g}{L}}x$

 $vdv={\frac {g}{L}}xdx$

 양변을 적분 

 ${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {g}{L}}{\frac {x^{2}}{2}}$

 $v^{2}={\frac {g}{L}}x^{2}$

 예를들어 $x=L$이면

 $v^{2}=gL$

 가 되는데, 

 에너지 보존이 성립한다.  $-{\frac {L}{2}}Mg={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

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