Well-ordering and Mathematical induction

  Well-ordering 과 Mathematical induction은 동치이다.

  Natural number는 곱셈에 대해서 closed set이다.

  a < b 이면, 

  a c <  b c이다.

  a가 c번 더해진 것이 좌변 b가 c번 더해진 것이 우변이므로 (자연수이기 때문에 가능하다.)

  a c < b c 이다.

  a < 1 인 자연수가 있다고 해보자

  a a <  1 a 가 성립할 것이다.

  따라서 a는 a*a보다 크다.

  그런데, 모든 자연수는 자기 자신과 곱을 하면 자기 보다 큰 수가 되거나 같은 수가 되어야 한다.

  그런데, a는 자기 자신과 곱한 수가 자기 자신보다 작아지므로 자연수가 아니다.