QFT fir the Gifted Amateur

Mahan 책에서는 second quantization 부분을 알아서 알고 있는 것으로 놓고 시작한다.

There are two ways to introduce the subject of creation and destruction operators for particles
The first is to describe their properties and then to omit any proofs.

The second way is to go through elaborate justification arguments.
These tend to leave the reader more confused than convinced.

Here an intermediate approach is tried. A short justification will be attempted. 
Our discussion follows Schiff (1968).

 (Mahan, p. 11)

Fetter and Walecka, 책에서는 이 부분을 길게 설명하고 있다.

 QFTGA책에서는 입자들이 모두 다른 상태에 있을 때를 기준으로 설명한다.

 4장에서 먼저 N 입자의 state를 다음과 같이 쓴다.

$|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$ 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.

$|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle =\sum _{P}\xi ^{P}|\phi _{P1}\cdots \phi _{PN}\rangle$

결론은

$a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle =\sum _{k}\langle \beta |\phi _{k}\rangle |\phi _{1}\cdots \phi _{k-1}\alpha \cdots \phi _{N}\rangle$ 와

$|\alpha \rangle \langle \beta |\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$ 가 동일하다는 것이다.

Act of $a^{\dagger }$

$a_{\alpha }^{\dagger }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle =|\alpha \phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$

$\langle \chi _{1}\dots \chi _{N-1}|a_{\phi }|\phi _{1}\cdots \phi _{N}\rangle$ 은, 다음의 conjugate이다.

$\langle \phi _{1}\cdots \phi _{N}|a_{\phi }^{\dagger }|\chi _{1}\dots \chi _{N-1}\rangle$

또한 정의에 의해서

$\langle \phi _{1}\cdots \phi _{N}|\phi \chi _{1}\dots \chi _{N-1}\rangle$

이것은

$\sum _{k}\xi ^{k-1}\langle \phi _{k}|\phi \rangle \langle \phi _{1}\cdots ({\rm {no}}\phi _{k})\cdots \phi _{N}|\chi _{1}\cdots \chi _{N-1}\rangle$

conjugate를 취하면

$\sum _{k}\xi ^{k-1}\langle \phi |\phi _{k}\rangle \langle \chi _{1}\cdots \chi _{N-1}|\phi _{1}\cdots ({\rm {no}}\phi _{k})\cdots \phi _{N}\rangle$

따라서 $a_{\phi }|\phi _{1}\dots \phi _{N}\rangle =\sum _{k}\xi ^{k-1}\langle \phi |\phi _{k}\rangle |\phi _{1}\cdots ({\rm {no}}\phi _{k})\cdots \phi _{N}\rangle$

$a_{\phi '}^{\dagger }a_{\phi }|\phi _{1}\dots \phi _{N}\rangle \sum _{k}\xi ^{k-1}\langle \phi |\phi _{k}\rangle |\phi '\phi _{1}\cdots ({\rm {no}}\phi _{k})\cdots \phi _{N}\rangle$

이는

$\sum _{k}\langle \phi |\phi _{k}\rangle |\phi _{1}\cdots \phi _{k-1}\phi '\phi _{k+1}\cdots \phi _{N}\rangle$

책에 나와 있는 내용으로는 $a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }$ 와 $|\alpha \rangle \langle \beta |$ 가 같다고 해놓았다.

과연 그런가?

그렇지 않은 것으로 보인다. 왜냐면 single state가 어디에 가서 달라 붙는지 정의가 안되기 때문이다.

Field operator로 보면

$\int dx\int dy{\psi }^{\dagger }(x)V(x,y)\psi (y)$

에서 $V$ 가 로컬이면

$\int dx{\psi }^{\dagger }(x)V(x)\psi (y)$

---

그다음

two-body operator를 생각해보면

$\int dx\int dy{\psi }^{\dagger }(x){\psi }^{\dagger }(y)V(x,y)\psi (y)\psi (x)$

형태가 되는데, x를 먼저 없애고, y를 없애면, y먼저 살리고, x를 살려야 무한대 항들이 나오지 않는다. 또한 중간에 sign변화도 없다. 2을 없애고 1를 없애면 2가 1보다 뒤에 있으면, 부호변화가 잘 이루어지는데, 이때, 1을 채우고, 다시 2를 채우면, 역시 같은 부호변화가 있어서 상태의 부호가 변화하지 않는다. 1이 없는 상태에서 2를 채우면 부호 변화가 있게 된다.

이 형태로 양자 상태는 변화가 없으므로 유용하다.

---

Field operator는

${\psi }^{\dagger }(x)={\frac {1}{\sqrt {\cal {V}}}}\sum _{p}e^{-ipx}a_{p}^{\dagger }$ 로 정의되는데, 이는 정말로 x에 입자를 생성하는 연산자가 된다.

2nd quantization