Shortest time projectile : Cycloid
∫ d t = ∫ d x 2 + d y 2 / v {\displaystyle \int dt=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}/v}
축을 어떻게 잡느냐에 따라서
v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} 도 되고
v = 2 g x {\displaystyle v={\sqrt {2gx}}} 도 된다.
∫ d x 1 + y ′ 2 x {\displaystyle \int dx{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {x}}}} x가 독립변수 ∫ d y x ′ 2 + 1 x {\displaystyle \int dy{\frac {\sqrt {x'^{2}+1}}{\sqrt {x}}}} y가 독립변수
이 둘의 해는 cycloid가 된다.
둘의 오일러 방정식은 다르지만, 해들의 관계는 역함수이다.
