단진자에서 equation of motion
일단 접선 방향의 운동 방정식은
− m g sin θ = m ℓ d 2 θ d t 2 {\displaystyle -mg\sin \theta =m\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}
은 옳다.
그런데 내가 잘못 생각한 것은 중심 방향의 운동이다.
이것을 평형이라고 아까 강의했는데, 그렇게 생각하면 안된다. 움직이는 것은 다르다.
T − m g cos θ = m a r = m v 2 ℓ {\displaystyle T-mg\cos \theta =ma_{r}={\frac {mv^{2}}{\ell }}} 로 풀어야 한다.
이때, 에너지 보존에 의해서 초기 θ {\displaystyle \theta } 를 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 라고 하면
1 2 m v 2 = m g ℓ cos θ − m g ℓ c o s θ 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=mg\ell \cos \theta -mg\ell cos\theta _{0}} 가 되므로
m v 2 ℓ = 2 m g cos θ − 2 m g cos θ 0 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{\ell }}=2mg\cos \theta -2mg\cos \theta _{0}}
가 되고, T = 3 m g cos θ − 2 m g cos θ 0 {\displaystyle T=3mg\cos \theta -2mg\cos \theta _{0}} 가 된다.
θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} 일 때, T = m g cos θ 0 {\displaystyle T=mg\cos \theta _{0}}
이고,
θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 일 때는, T = 3 m g − 2 m g cos θ 0 {\displaystyle T=3mg-2mg\cos \theta _{0}} 가 된다.
지환 군이 말한 T {\displaystyle T} 는 m g cos θ {\displaystyle mg\cos \theta } 보다 항상 커야 된다는 것은 옳은 말이다.
쏴리. 늙으면 골로 빨리 가야 될 듯
