역행렬 구하기

  참고 문헌 : Zee의 group theory in a nutshell for physicists. 

  물리가 근본이긴 하지.
  아무도 인정하지 않더라도.

  $n\times n$ 행렬의 역행렬을 구하는 방법을 익혀보자.

  $M^{-1}=1/|M|adj(M)=1/|M|C^{T}$
  이고, $C$ 는 cofactor matrix이다.

  $C_{ij}=(-1)^{i+j}|A|$

  $A$ 는 i th row와 j th column을 제거한 행렬이다.

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  행렬식의 성질

  행렬식을 각 행, 또는 각 열의 element의 linear combination으로 쓸 수 있다.

  라플라스 전개라고 한다.

  $aA+bB=cC+dD=aA+cC=bB+dD$

  정확히 $A$ 는 a의 cofactor이다. 

  $M$ 을 upper triagular로 변형했으면,

  $det(B)=\lambda _{1}\cdots \lambda _{n}$

  diagonal element들의 곱이 행렬식이다.

 (첫 열의 element로 linear combination으로 쓸 수 있으므로)

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 코팩터의 개념을 좀 더 확장시켜서 이해할 필요가 있다.

 ${\cal {D}}$ 를 행렬식이라고 하자.

 행렬식은 어떤 한 특정 행이나, 열의 원소들의 선형결합으로 쓸 수 있다.

 ${\cal {D}}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}$