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역학, falling chains (원본 보기)

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905

번

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    <math>   \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx}  = g - \frac{ \dot{x}^2 }{x} </math>
-   <math>   v \frac{dv}{dx}  =  g - \frac{ v^2} {x} </math>
+   <math>   v \frac{dv}{dx}  =  g - \frac{v^2} {x} </math>
+  <math>    d(v^2 ) = 2v dv </math>의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.
+  <math>   \frac{1}{2} \frac{d u}{dx}   = g - u/x </math>
+  <math>  \frac{du}{dx}  + \frac{2}{x} u  = 2g </math>
-  <math>    \frac{dv}{dx} +  x  v = g </math>
    <math>  y'  + P y = Q </math>
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    <math>   y=  \frac{ \int IQ dx }{ I } </math>
-   여기서 <math>  I = e^{ \int  x dx}   =  e^{\frac{x^2}{ 2} }  </math>
+   여기서 <math>  I = e^{ \int  \frac{2}{x}  dx}   =  x^2   </math>
    이므로
-   <math>  v (x)  =  e^{- x^2/2 } \int e^{\frac{x^2}{2} } g </math>
+   <math>  v (x)  =  \frac{1}{x^2}  \int x^2  2 g </math>
+  <math>  v(x)  = \frac{2}{3} g x </math>
+  초기조건 <math>  x= 0 </math> , <math> v= 0 </math> 임을 상기하라.