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| (같은 사용자의 중간 판 2개는 보이지 않습니다) |
| 1번째 줄: |
1번째 줄: |
| Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다. | | Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다. |
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| 먼저 에너지 보존이 되는가의 문제가 있다. | | |
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| falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,
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| 라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가
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| <math> v^2 = gx </math>
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| 로 나오는 해다.
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| <math> L = \frac{1}{2} \rho x \dot{x}^2 + \frac{1}{2} \rho g x^2 </math>
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| 에서
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| <math> \frac{\partial L}{\partial \dot{x} } = \rho x \dot{x} </math>
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| <math> \frac{\partial L}{\partial x } = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \rho g x </math>
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| <math> \rho \dot{x}^2 + \rho x \ddot{x} = \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \rho g x </math>
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| <math> x \ddot{x} = gx - \frac{1}{2 } \dot{x}^2 </math>
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| 가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)
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| 도대체 어느 식이 맞는 식일까?
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| 다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
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| 줄 전체가 같은 가속도로 움직이는 경우이다.
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| 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 <math> x </math> )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.
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| 체인 전체의 운동방정식은
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| <math> M \ddot{x} = \rho x g </math>
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| 가 된다.
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| <math> \ddot{x} = \frac{g}{L} x </math>
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| <math> \frac{dv}{dt} = \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx} = \frac{g}{L} x </math>
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| <math> v dv = \frac{g}{L} x dx </math>
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| 양변을 적분
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| <math> \frac{v^2}{2} = \frac{g}{L} \frac{x^2}{2} </math>
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| <math> v^2 = \frac{g}{L} x^2 </math>
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| 예를들어 <math> x = L </math>이면
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| <math> v^2 = gL </math>
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| 가 되는데,
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| 에너지 보존이 성립한다. <math > - \frac{L}{2} M g = \frac{1}{2} M v^2 </math>
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