양자 컴퓨팅 2023-1

 양자 컴퓨팅은 정보학, 물리학, 컴퓨터 사이언스의 융합체이다.
 과제1) 상용화되어 가고 있는 양자컴퓨터에는 어떤 것들이 있는지 조사하여라.

 자연을 지배하는 법칙이 양자 역학이므로 양자 역학을 이용한 컴퓨팅 모형이 있어야 하는 것은 당연하다.

 기존의 컴퓨팅 모형을 고전 컴퓨팅 모형이라고 하고, 고전 컴퓨팅 비트는 0,1만 가능하다.
 한 번의 클럭에 동시에 연산하는 비트의 수에 따라 8비트 16비트 32비트 64비트로 점점 발전해 왔다.

비트의 표현 방법

  Dirac Notation

  One-hot Notation

  Direct Product

 과제1  양자 컴퓨팅의 종류를 조사하시오.

 과제2  4개의 Cbit상태로 어떻게 one-hot representation을 만들 수 있는지 논하시오.

Cbit의 Reversible operator for single CBit

 We have only $I$ or $X$

 Reversible이란 invertible하고 똑같이 생각하면 된다. 역변환이 존재한다.

Two-bit operator

 We study AND, OR, NAND, NOR, XOR

The principle of digital logic circuit

 Remarkably, any Cbit operation can be composed of NAND gates only.

Controlled Z operation

 $C_{ij}^{Z}={\tilde {n}}_{i}+Z_{j}n_{i}={\frac {1}{2}}(1+Z_{i})+{\frac {1}{2}}Z_{j}(1-Z_{i})$

 이를 이용하면 $C_{ij}^{Z}=C_{ji}^{Z}$ 임이 자명하다.

쌍대공간

 선형대수학에서 쌍대공간은 Dual Space라고 한다.
 $|0\rangle$ 의 쌍대공간에서의 벡터는 $\langle 0|$ 이 된다.
 쌍대공간의 벡터와 내적을 해야 올바른 내적이 만들어 진다.
 특히 복소수를 coefficient로 가질 때 주의해야 한다.
 유클리디안 스페이스에서는 conjugate가 필요없었다.

유니터리 연산자

Norm preserving operator

양자 연산

1, 2 Qbit gate로 모든 quantum algorithm을 만들 수 있다. (general theorem)
(Cbit의 경우 3 Cbit gate가 필요하다. )

유니터리 뿐 아니라 선형인 성질도 매우 중요하다.

측정 게이트

 Cbit은 측정을 해도 상태가 변하지 않는다.

 Qbit은 측정을 하면 그 측정하는 상태를 확률적으로 얻는다. Born rule

 Quantum Catastrophe 한번 측정하면 다시는 원상태로 돌이킬 수 없다.

Preparing two Qbit state

 We use entanglement by CNOT (2 Qbit gate)

Chapter 2

input and output register

  n Qbit (input)
  + m Qbit (output)

  $U_{f}|x\rangle _{n}|y\rangle _{m}=|x\rangle _{n}|y\oplus f(x)\rangle _{m}$

  $U_{f}|x\rangle _{n}|0\rangle _{m}=|x\rangle _{n}|f(x)\rangle _{m}$

  With $H$, we can make every states 
  
  $H^{\otimes n}$

  $U_{f}H^{\otimes n}\otimes 1_{m}(|0\rangle _{n}|0\rangle _{m})=U_{f}(\sum _{x}|x\rangle _{n}|0\rangle _{m})=\sum _{x}|x\rangle _{n}|f(x)\rangle _{m}$

  This is "so called" quantum parallelism.

No cloning theorem

 it is not possible to clone an arbitrary states to another quantum states.
 (only when $\langle \phi |\psi \rangle =1or0$ )

Tofolli Gate

 마지막에 E가 붙는 것은
 $e^{i\alpha }|1\rangle |\psi \rangle =|1\rangle e^{i\alpha }|\psi \rangle$ 이기 때문이다.

Homework

 과제) XOR에 대해서 결합법칙이 성립함을 보이시오.

    $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)$
    힌트 진리표를 이용하세요.

 과제)  Swap operation $S_{ij}=C_{ij}C_{ji}C_{ij}$ 임을 보이세요.  $C_{ij}$ 는 cNot gate.

 과제)  $C_{ij}={\tilde {n_{i}}}+X_{j}n_{i}$ 를 이용해서  $S_{ij}=C_{ij}C_{ji}C_{ij}$ 임을 보이세요.

 과제)  $HXH=Z$임을 증명하시오.

 과제)  양자역학에서 Harmonic osillator의 파동함수에서는 무엇이 진동하는지 조사하시오.