역학, falling chains

 Falling chain은 여러가지 버전이 있는데, 강의를 하면서 학생들이 잘 이해 못하는 것 같아 정리해 본다.

 먼저 에너지 보존이 되는가은 문제가 있다.

 이것은 컨베이어 벨트로 떨어지는 물체에 대해서도 마찬가지다.

 먼저 $\Delta M$인 물체가 컨베이어 벨트로 떨어져서 속력이 $v$가 된다고 하자.

이때 걸린 시간이 $\Delta t$라고 하자.

 그렇다면 컨베이어 벨트가 이 물체에 작용한 충격량은 물체의 운동량의 변화량이 되므로

 $\Delta Mv=F\Delta t$

이다.

 따라서 $F={\dot {M}}v$
 이다. 

 여기서 문제가 생기는데, 컨베이어 벨트는 힘 $F$로 속력 $v$로 물체를 움직이는

것처럼 보이므로 순간 power가 $Fv={\frac {\Delta M}{\Delta t}}vv={\dot {M}}v^{2}$가 된다.

 그런데 물체의 운동에너지의 시간 미분은

 ${\frac {1}{2}}\Delta Mv^{2}/(\Delta t)={\frac {1}{2}}{\dot {M}}v^{2}$이다.