Mermin Quantum Computer: Making general 2-bit Quantum State

 1.  1bit Q state는 유니터리 오퍼레이터 하나면 충분하다.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

이것의 inverse matrix는

${\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

이다. 따라서 유니터리는 $U^{-1}=U^{\dagger }$

${\begin{pmatrix}a^{*}&b^{*}\\c^{*}&d^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

$d=a^{*}$, $c=-b^{*}$

$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$

Determinant of U should be 1.

$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

$a=\cos \theta e^{i\chi }$

$b=\sin \theta e^{i\psi }$

2. 2-bit Quantum state

우리는 이미, 일반적인 two-bit quantum state는 두 개의 1-bit state의 direct product로는 만들 수 없다는

사실을 알고 있다.

따라서

$|\Psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11\rangle$

는

$|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$

가 될 수 없다.

이 과정에 대해서 Mermin선생님은 뭔가 설명을 하시는데 금방 이해하기가 힘들다.

먼저 $u$는 정의했으므로

$|\Psi \rangle =|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes |\phi \rangle$ 는 가능하다.

$|\psi \rangle =\alpha _{00}|0\rangle +\alpha _{01}|1\rangle$ 일 것이고,

$|\phi \rangle =\alpha _{10}|0\rangle +\alpha _{11}|1\rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle$ 를 생각해 보자.

${\bf {u}}|0\rangle \otimes |\psi \rangle +{\bf {u}}|1\rangle \otimes |\phi \rangle$