Mermin Quantum Computer: Making general 2-bit Quantum State

 1.  1bit Q state는 유니터리 오퍼레이터 하나면 충분하다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }

이것의 inverse matrix는

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} }

이다. 따라서 유니터리는 $U^{-1}=U^{\dagger }$

${\begin{pmatrix}a^{*}&b^{*}\\c^{*}&d^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

$d=a^{*}$, $c=-b^{*}$

$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$

Determinant of U should be 1.

$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

$a=\cos \theta e^{i\chi }$

$b=\sin \theta e^{i\psi }$

Mermin책에서는 a를 a로 b를 -b*로 놓아서

$U={\begin{pmatrix}a&-b^{*}\\b&a^{*}\end{pmatrix}}$

이고

$u|0\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$ 이고

$u|1\rangle =-b^{*}|0\rangle +a^{*}|1\rangle$

2. 2-bit Quantum state

우리는 이미, 일반적인 two-bit quantum state는 두 개의 1-bit state의 direct product로는 만들 수 없다는

사실을 알고 있다.

따라서

$|\Psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11\rangle$

는

$|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$

가 될 수 없다.

이 과정에 대해서 Mermin선생님은 뭔가 설명을 하시는데 금방 이해하기가 힘들다.

먼저 $u$는 정의했으므로

$|\Psi \rangle =|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes |\phi \rangle$ 는 가능하다.

$|\psi \rangle =\alpha _{00}|0\rangle +\alpha _{01}|1\rangle$ 일 것이고,

$|\phi \rangle =\alpha _{10}|0\rangle +\alpha _{11}|1\rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle$ 를 생각해 보자.

${\bf {u}}|0\rangle \otimes |\psi \rangle +{\bf {u}}|1\rangle \otimes |\phi \rangle$

u의 규칙에 따라서

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle (a | 0 \rangle + b |1 \rangle ) \otimes | \psi \rangle + ( -b^* | 0 \rangle + a^* |1 \rangle ) \otimes | \phi \rangle }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \psi' \rangle = a | \psi \rangle - b^* | \phi \rangle }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \phi' \rangle = b | \psi \rangle + a^* | \phi \rangle }