Mermin Quantum Computer: Making general 2-bit Quantum State

 1.  1bit Q state는 유니터리 오퍼레이터 하나면 충분하다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }

이것의 inverse matrix는

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} }

이다. 따라서 유니터리는 $U^{-1}=U^{\dagger }$

${\begin{pmatrix}a^{*}&b^{*}\\c^{*}&d^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

$d=a^{*}$, $c=-b^{*}$

$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$

Determinant of U should be 1.

$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

$a=\cos \theta e^{i\chi }$

$b=\sin \theta e^{i\psi }$

Mermin책에서는 a를 a로 b를 -b*로 놓아서

$U={\begin{pmatrix}a&-b^{*}\\b&a^{*}\end{pmatrix}}$

이고

$u|0\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$ 이고

$u|1\rangle =-b^{*}|0\rangle +a^{*}|1\rangle$

2. 2-bit Quantum state

우리는 이미, 일반적인 two-bit quantum state는 두 개의 1-bit state의 direct product로는 만들 수 없다는

사실을 알고 있다.

따라서

$|\Psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11\rangle$

는

$|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$

가 될 수 없다.

이 과정에 대해서 Mermin선생님은 뭔가 설명을 하시는데 금방 이해하기가 힘들다.

먼저 $u$는 정의했으므로

$|\Psi \rangle =|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes |\phi \rangle$ 는 가능하다.

$|\psi \rangle =\alpha _{00}|0\rangle +\alpha _{01}|1\rangle$ 일 것이고,

$|\phi \rangle =\alpha _{10}|0\rangle +\alpha _{11}|1\rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle$ 를 생각해 보자.

${\bf {u}}|0\rangle \otimes |\psi \rangle +{\bf {u}}|1\rangle \otimes |\phi \rangle$

u의 규칙에 따라서

$(a|0\rangle +b|1\rangle )\otimes |\psi \rangle +(-b^{*}|0\rangle +a^{*}|1\rangle )\otimes |\phi \rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle =|0\rangle |\psi '\rangle +|1\rangle |\phi '\rangle$

$|\psi '\rangle =a|\psi \rangle -b^{*}|\phi \rangle$

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \phi' \rangle = b | \psi \rangle + a^* | \phi \rangle }

U를 첫번째 bit에 operation을 했는데, 나온 상태는 두번째 bit을 바꾼 것으로 이해할 수 있다.

그런데, 그 다음 설명이 좀 이상한데, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \phi' \rangle } 와 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \psi' \rangle } 을 수직으로 잡을 수 있느냐의 문제를 논한다.

그전에 unprimed된 상태가 이미 수직이었으면, U를 작용시킬 필요도 없다는 설명도 있다. 그래서 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle u=1 } 이라는 말도 나온다. (조심해서 해석해야 한다.)

어쨌든, a, b를 잘 잡으면 primed된 상태들을 수직으로 만들 수 있다.

그 다음에 크기를 1로 만드는 factor를 lambda, mu라고 하면

double primed state는 primed state를 lambda, mu로 나누어서 크기를 1로 만들 수 있을 것이다.

double primed state들이 orthornormal하므로

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \psi'' \rangle = { \bf v } | 0 \rangle = \frac{1}{\lambda} | \psi' \rangle }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \phi'' \rangle = { \bf v } | 1 \rangle = \frac{1}{\mu} | \phi' \rangle }

인 유니터리 v를 잡을 수 있다.

따라서

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {\bf u } \otimes {\bf 1} | \Psi \rangle = |0 \rangle | \psi' \rangle + |1 \rangle | \phi' \rangle = | 0 \rangle \lambda {\bf v} |0 \rangle + | 1 \rangle \mu {\bf v} | 1 \rangle }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {\bf u } \otimes {\bf 1} | \Psi \rangle = {\bf 1} \otimes {\bf v} ( \lambda |0 \rangle | 0 \rangle + \mu |1 \rangle | 1 \rangle ) }

양변에 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {\bf u^\dagger} \otimes {\bf 1 } } 를 곱하면

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \Psi \rangle = ( {\bf u^\dagger} \otimes {\bf v} ) ( \lambda |0 \rangle | 0 \rangle + \mu |1 \rangle | 1 \rangle ) }

가 되고 마지막 비트의 1값을 0으로 바꾸면 두번째 비트를 뒤로 뽑을 수 있다. 그렇게 하기 위해서는 CNot op. 가 필요하다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \Psi \rangle = ( {\bf u^\dagger} \otimes {\bf v} ) C_{10} ( \lambda |0 \rangle | 0 \rangle + \mu |1 \rangle | 0 \rangle ) = ( {\bf u^\dagger} \otimes {\bf v} ) C_{10} ( \lambda |0 \rangle + \mu |1 \rangle ) |0 \rangle ) }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle {\bf u^\dagger} \otimes {\bf v} }

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle C_{10} } 는 모두 unitary, </math> | Psi </math> 의 크기는 1이므로 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle ( \lambda |0 \rangle + \mu |1 \rangle ) } 의 크기도 1이이야 한다. (유니터리는 크기 보존)

따라서

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle ( \lambda |0 \rangle + \mu |1 \rangle ) = {\bf w} \otimes {\bf 1} } 로 쓸 수 있고, w는 유니터리

요약하면 general 2-bit Q state는

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle | \Psi \rangle = {\bf u}_1^\dagger {\bf v}_0 C_{10} {\bf w}_1 | 0 0 \rangle }

로 만들 수 있다.

여기서 operator의 첨자는 operator가 작용하는 bit가 1번 bit인지 0번 bit인지 의미한다.