Mermin Quantum Computer: Making general 2-bit Quantum State

 1.  1bit Q state는 유니터리 오퍼레이터 하나면 충분하다.

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

이것의 inverse matrix는

${\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

이다. 따라서 유니터리는 $U^{-1}=U^{\dagger }$

${\begin{pmatrix}a^{*}&b^{*}\\c^{*}&d^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}}$

$d=a^{*}$, $c=-b^{*}$

$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}$

Determinant of U should be 1.

$|a|^{2}+|b|^{2}=1$

$a=\cos \theta e^{i\chi }$

$b=\sin \theta e^{i\psi }$

Mermin책에서는 a를 a로 b를 -b*로 놓아서

$U={\begin{pmatrix}a&-b^{*}\\b&a^{*}\end{pmatrix}}$

이고

$u|0\rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$ 이고

$u|1\rangle =-b^{*}|0\rangle +a^{*}|1\rangle$

2. 2-bit Quantum state

우리는 이미, 일반적인 two-bit quantum state는 두 개의 1-bit state의 direct product로는 만들 수 없다는

사실을 알고 있다.

따라서

$|\Psi \rangle =\alpha _{00}|00\rangle +\alpha _{01}|01\rangle +\alpha _{10}|10\rangle +\alpha _{11}|11\rangle$

는

$|\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle$

가 될 수 없다.

이 과정에 대해서 Mermin선생님은 뭔가 설명을 하시는데 금방 이해하기가 힘들다.

먼저 $u$는 정의했으므로

$|\Psi \rangle =|0\rangle \otimes |\psi \rangle +|1\rangle \otimes |\phi \rangle$ 는 가능하다.

$|\psi \rangle =\alpha _{00}|0\rangle +\alpha _{01}|1\rangle$ 일 것이고,

$|\phi \rangle =\alpha _{10}|0\rangle +\alpha _{11}|1\rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle$ 를 생각해 보자.

${\bf {u}}|0\rangle \otimes |\psi \rangle +{\bf {u}}|1\rangle \otimes |\phi \rangle$

u의 규칙에 따라서

$(a|0\rangle +b|1\rangle )\otimes |\psi \rangle +(-b^{*}|0\rangle +a^{*}|1\rangle )\otimes |\phi \rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle =|0\rangle |\psi '\rangle +|1\rangle |\phi '\rangle$

$|\psi '\rangle =a|\psi \rangle -b^{*}|\phi \rangle$

$|\phi '\rangle =b|\psi \rangle +a^{*}|\phi \rangle$

U를 첫번째 bit에 operation을 했는데, 나온 상태는 두번째 bit을 바꾼 것으로 이해할 수 있다.

그런데, 그 다음 설명이 좀 이상한데, $|\phi '\rangle$ 와 $|\psi '\rangle$을 수직으로 잡을 수 있느냐의 문제를 논한다.

그전에 unprimed된 상태가 이미 수직이었으면, U를 작용시킬 필요도 없다는 설명도 있다. 그래서 $u=1$이라는 말도 나온다. (조심해서 해석해야 한다.)

어쨌든, a, b를 잘 잡으면 primed된 상태들을 수직으로 만들 수 있다.

그 다음에 크기를 1로 만드는 factor를 lambda, mu라고 하면

double primed state는 primed state를 lambda, mu로 나누어서 크기를 1로 만들 수 있을 것이다.

double primed state들이 orthornormal하므로

$|\psi ''\rangle ={\bf {v}}|0\rangle ={\frac {1}{\lambda }}|\psi '\rangle$

$|\phi ''\rangle ={\bf {v}}|1\rangle ={\frac {1}{\mu }}|\phi '\rangle$

인 유니터리 v를 잡을 수 있다.

따라서

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle =|0\rangle |\psi '\rangle +|1\rangle |\phi '\rangle =|0\rangle \lambda {\bf {v}}|0\rangle +|1\rangle \mu {\bf {v}}|1\rangle$

${\bf {u}}\otimes {\bf {1}}|\Psi \rangle ={\bf {1}}\otimes {\bf {v}}(\lambda |0\rangle |0\rangle +\mu |1\rangle |1\rangle )$

양변에 ${\bf {u^{\dagger }}}\otimes {\bf {1}}$ 를 곱하면

$|\Psi \rangle =({\bf {u^{\dagger }}}\otimes {\bf {v}})(\lambda |0\rangle |0\rangle +\mu |1\rangle |1\rangle )$

가 되고 마지막 비트의 1값을 0으로 바꾸면 두번째 비트를 뒤로 뽑을 수 있다. 그렇게 하기 위해서는 CNot op. 가 필요하다.

$|\Psi \rangle =({\bf {u^{\dagger }}}\otimes {\bf {v}})C_{10}(\lambda |0\rangle |0\rangle +\mu |1\rangle |0\rangle )=({\bf {u^{\dagger }}}\otimes {\bf {v}})C_{10}(\lambda |0\rangle +\mu |1\rangle )|0\rangle )$

${\bf {u^{\dagger }}}\otimes {\bf {v}}$

$C_{10}$ 는 모두 unitary, $|\Psi \rangle$ 의 크기는 1이므로 $(\lambda |0\rangle +\mu |1\rangle )$ 의 크기도 1이이야 한다. (유니터리는 크기 보존)

따라서

$(\lambda |0\rangle +\mu |1\rangle )={\bf {w}}\otimes {\bf {1}}|0\rangle$ 로 쓸 수 있고, w는 유니터리

요약하면 general 2-bit Q state는

$|\Psi \rangle ={\bf {u}}_{1}^{\dagger }{\bf {v}}_{0}C_{10}{\bf {w}}_{1}|00\rangle$

로 만들 수 있다.

여기서 operator의 첨자는 operator가 작용하는 bit가 1번 bit인지 0번 bit인지 의미한다.