역학, falling chain3

그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자. 체인의 일부분만 빠르게 가속하는 경우이다. 책상위의 체인은 정지해 있는 경우다.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 $I=e^{\int {\frac {2}{x}}dx}=x^{2}$

 이므로 
 
 $u(x)={\frac {1}{x^{2}}}\int x^{2}2gdx$

 $v(x)={\sqrt {{\frac {2}{3}}gx}}$ 

 초기조건 $x=0$ , $v=0$ 임을 상기하라. 

 L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 ${\sqrt {{\frac {2}{3}}gL}}$

 가 된다. 에너지 보존으로 생각하면

 $0={\frac {1}{2}}Mv^{2}-MgL/2$

가 되므로, $v={\sqrt {gL}}$ 가 되어야 될 것 같은데,
이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.

그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?