falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,
라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가
v 2 = g x {\displaystyle v^{2}=gx}
로 나오는 해다.
L = 1 2 ρ x x ˙ 2 + 1 2 ρ g x 2 {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\rho x{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}\rho gx^{2}}
에서
∂ L ∂ x ˙ = ρ x x ˙ {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\rho x{\dot {x}}} ∂ L ∂ x = 1 2 x ˙ 2 + ρ g x {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx}
ρ x ˙ 2 + ρ x x ¨ = 1 2 x ˙ 2 + ρ g x {\displaystyle \rho {\dot {x}}^{2}+\rho x{\ddot {x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx}
x x ¨ = g x − 1 2 x ˙ 2 {\displaystyle x{\ddot {x}}=gx-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}}
가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)
도대체 어느 식이 맞는 식일까?
