역학, falling chain5

falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

 라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   v^2 = gx }

 로 나오는 해다.

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle    L = \frac{1}{2}  \rho x  \dot{x}^2  +  \frac{1}{2} \rho g x^2 }

에서 

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \frac{\partial L}{\partial \dot{x} }  =   \rho x \dot{x} }
  

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   \frac{\partial L}{\partial x }   =  \frac{1}{2} \dot{x}^2 +  \rho g x }

 $\rho {\dot {x}}^{2}+\rho x{\ddot {x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $x{\ddot {x}}=gx-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

 가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)

 도대체 어느 식이 맞는 식일까?