∫ ∇ × F → d V = ∫ n ^ × F → d A {\displaystyle \int \nabla \times {\vec {F}}dV=\int {\hat {n}}\times {\vec {F}}dA} 를 증명해 보자.
∇ × F → {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}} 의 z {\displaystyle z} 성분은
∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}
G → = ( F y , − F x , 0 ) {\displaystyle {\vec {G}}=(F_{y},-F_{x},0)} 로 정의하고, 살짝 가우스 정리를 이용하면
∫ ( ∇ × F → ) z d V = ∫ ∇ ⋅ G → d V = ∫ n ^ ⋅ G → d A = ∫ ( n ^ × F → ) z d A {\displaystyle \int (\nabla \times {\vec {F}})_{z}dV=\int \nabla \cdot {\vec {G}}dV=\int {\hat {n}}\cdot {\vec {G}}dA=\int ({\hat {n}}\times {\vec {F}})_{z}dA}
