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"굴림 마찰력"의 두 판 사이의 차이
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| 26번째 줄: | 26번째 줄: | ||
<math> mg \sin \theta - f = ma </math>이다. | <math> mg \sin \theta - f = ma </math>이다. | ||
질량 중심을 회전 중심으로 보았을 때, 토크의 방향은 내려가는 방향으로 회전시키는 토크이므로 | 질량 중심을 회전 중심으로 보았을 때, 토크의 방향은 내려가는 방향으로 회전시키는 토크이므로 | ||
<math> \tau = Rf = I \alpha </math> | |||
미끄러지지 않는 조건은 | 미끄러지지 않는 조건은 | ||
<math> R \alpha = a </math> | |||
가 된다. | 가 된다. | ||
<math> a = \frac{g \sin \theta }{ 1 + I/mR^2 } </math> | |||
평평한 곳에서 외력이 작용할 때도 마찬가지다 <math> g\sin \theta = F/m </math> 로 대치하면 된다. | |||
<math> a = \frac{ F/m }{ 1 + I/mR^2 } </math> | |||
---- | |||
이번에는 물체의 중심으로부터 r만큼 떨어진 곳에 힘 F를 작용한다. | |||
마찰력에 대해서는 오른쪽으로 <작용한다고 가정하자. | |||
그럼 | |||
<math> F + f = ma </math> | |||
<math> rF - Rf = I \alpha </math> | |||
<math> r/R F - f = I a / R^2 </math> | |||
<math> (1+ r/R ) F = ( m + I/R^2 ) a </math> | |||
따라서 | |||
<math> a = \frac{1 + r/R }{ m + I/R^2 } F </math> | |||
이제 이 답을 이용해서 f를 구해보자. | |||
<math> f = ma - F = \frac{ r/R - I /R^2 }{ m + I /R^2 } F </math> | |||
<math> r=0 </math>일 때는 <math> f<0 </math> 이 됨을 알 수 있고 위의 답과 동일하다. | |||
따라서 이 경우 마찰력은 왼쪽 방향이다. | |||
그런데 <math> r/R > I /R^2 </math> 가 되면 마찰력이 양으로 변한다. | |||
구형인 물체의 경우 <math> I = k mR^2 </math>이므로 | |||
분자가 <math> m ( r/R - k ) </math> | |||
이다. 예를 들어 k=1인 휠의 경우 r은 항상 R보다 작으므로 이 값은 항상 음이다. | |||
따라서 마찰력은 왼쪽 방향이다. | |||
k=1/2인 디스크라면 r=1/2 R에서 마찰력은 0이 됨을 알 수 있다. | |||
r<1/2이면, 마찰력은 뒤방향이고, r>1/2이면 마찰력은 앞방향이 된다. | |||
그럼 자전거를 움직일 때, 힘을 가하는 부분의 길이는 항상 휠의 반경보다 작은데, 어뗳게 마찰력이 앞으로 작용하는 것일까? | |||
이 때는 힘을 위와 같이 특정한 부분에 일정한 힘을 주는 것이 아니라. 체인이 뒷 바퀴의 로터에 토크를 가하는 것으로 볼수 있다. | |||
체인에 감긴 로터는 힘의 크기는 변하고 힘의 합력이 오른쪽 오른쪽 위 방향이 될 것이다. 그렇지만 병진운동의 힘 성분은 트랙션에 의한 힘보다는 작기 때문에, 트랙션에 의한 오른쪽 힘이 병진운동을 일으키는 힘이 된다. | |||
체인과 로터이 맞물림의 개수가 n개라면, 토크의 크기는 F*r*n 이 된다. 수평방향의 힘은 작다. 이 힘이 <math> \beta F </math>라고 하자. | |||
<math> rFn - Rf = I a/R </math> | |||
<math> f + \beta F = ma </math> | |||
<math> a = \frac{ nr/R + \beta } { m + I/R^2 } F </math> | |||
가 해가 되고, | |||
<math> f = F \frac{ mR^2 ( n r/R - \beta k ) }{ mR^2 +I } </math> | |||
가 되어서 k<1 이고, beta<<1이므로 f>0이 된다. n=10, r=1/10이면 충분히 f>0이다. | |||
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자, 이제 다른 상황인 자전거 바퀴나, 철도, 자동차 바퀴 등등을 생각해 보자. | |||
이 경우, 외력이 작용하는 상황이 아니라, 내부의 동력에 의해서 토크가 작용하고 있는 상황이다. | |||
토크가 작용하여 물체가 회전을 하면, 지면이나, 철로를 뒤로 밀어 내므로, 지면이나 철로가 바퀴에 작용하는 힘은 | |||
위의 경우와 정반대로 물체의 운동 방향이 된다!!! | |||
따라서 병진 운동 방정식은 | |||
<math> f = ma </math> | |||
회전 운동 방정식은 | |||
<math> \tau - Rf = I \alpha </math> | |||
가 된다. | |||
<math> a = R \alpha </math> | |||
는 미끄러지지 않을 조건이 된다. | |||
이 두 식을 풀면, | |||
<math> a= \frac{ \tau/R} { m + I/(R^2 ) } </math> | |||
자전거의 경우 | |||
뒷 바퀴에 토크가 작용한다. | |||
<math> \tau - Rf = I \alpha </math> | |||
<math> f - f_0 = m_{wheel} a </math> | |||
<math> f_0 = m_{body} a </math> | |||
<math> R \alpha = a </math> | |||
로 운동 방정식을 쓸 수 있다. | |||
<math> f </math> 는 바닥이 뒷바퀴에 작용하는 힘이고, | |||
<math> f_0 </math> 는 뒤바퀴와 바디가 서로 작용 반작용하는 힘이다. 축이 연결 되어 있으므로 서로 작용 반작용을 하는데, | |||
같은 가속도로 움직여야 한다. | |||
<math> a = \frac{ \tau/R }{ m_{wheel} + m_{body} + I/R^2 } </math> | |||
가 답이 된다. | |||
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마지막으로 구르는데 마찰이 어떻게 작용하는지 생각해 보자. | |||
타이어나, 철도 레일의 변형으로 마찰력은 왼쪽으로 작용해야한다. f>0이라고 놓고 | |||
<math> -f = ma </math> | |||
그런데, f가 만드는 토크는 회전을 강화하는 방향이다. | |||
<math> f = I \alpha </math> | |||
따라서 a>0 인데, </math> \alpha>0 </math> | |||
인 모순이 생긴다. | |||
이것은 타이어의 변형에 의해 수직항력이 접점에 있지 않는 현상으로 설명할 수 있다. | |||
굴러가는 쪽으로 변형이 더 많이 일어나고, 이 때 수직항력은 원의 접점이 아니가 비껴나간 | |||
부분에서 위 방향이 되므로 negative torque를 준다. 따라서 | |||
<math> - NR \sin \theta + f = I\alpha = I a/ R </math> | |||
이 되어서 a<0, <math> \alpha < 0 </math>의 조건이 충족되고, | |||
타이어는 감속 운동하게 된다. | |||
이야, 제로 음료 한잔해~ | |||