역학, Marion, Perturbation thoery, Drag Force

 Marion에서 기술하고 있는 Perturbation theory는 학생들이 이해하기가 어렵게 기술되어 있다.

 일단 시작은, 

$y=-{\frac {g}{k}}t+{\frac {kV+g}{k^{2}}}(1-e^{-kt})$

에서 original position으로 돌아오는 것을 설명하고 있다. 따라서 이 때의 시간을 $T$라고 하면 해는

$0=-{\frac {g}{k}}T+{\frac {kV+g}{k^{2}}}(1-e^{-kT})$

이다.

이 식은 Self-consistent equation이라고 볼 수 있다.

$T={\frac {kV+g}{gk}}(1-e^{-kT})$

가 된다.

${\frac {g}{g+kV}}=(1-{\frac {1}{2}}kT+{\frac {1}{6}}k^{2}T^{2})$ 와 같이 전개할 수 있다.

주의할 점은 오른쪽 식이 모두 T를 포함해서 T의 차원이 하나씩 낮아진다는 점이다.

물리적으로 중요한 포인트는 $k<<1$라는 점이다.

왼쪽식을 좀더 간단히 하면

${\frac {1}{1+kV/g}}=(1-{\frac {1}{2}}kT+{\frac {1}{6}}k^{2}T^{2})$

물론 $T$에 대한 이차식이므로 근의 공식을 써도 된다.

그런데 우리는 $T$를 $k$대한 order로 풀고 싶다.

따라서 왼쪽 식을 전개해서 차수 맞추기를 하는 것이 좋겠다.

$1-kV/g+(kV/g)^{2}=(1-{\frac {1}{2}}kT+{\frac {1}{6}}k^{2}T^{2})$

이므로

먼저 order(k)의 양변이 같다면, $T=2V/g$ 가 된다.

다음 차원은 $T=2V/g+\alpha k$ 로 놓고 양변을 전개하면, $k^{2}$까지 풀어야 됨을 알 수 있다.

(Marion책은 이것을 정신없이 설명해 놔서 도대체 알 수가 없을 것이다.)

$V^{2}/g^{2}=-{\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {1}{6}}{\frac {4V^{2}}{g^{2}}}$

따라서 $\alpha =-{\frac {2}{3}}V^{2}/g^{2}$ 이다.

$T={\frac {2V}{g}}-{\frac {2}{3}}{\frac {V^{2}}{g^{2}}}k$

가 답이다. O(k)에서