역학, falling chain4

다음은 줄이 늘어져 있다가 전체가 주르르륵 움직이는 문제를 생각해 보자.
 줄 전체가 같은 가속도로 움직이는 경우이다. 

 작용하는 힘은 늘어져 있는 부분 (길이 $x$ )에 작용하는 힘이 전체 물체를 움직이고 있는 셈이다.

 체인 전체의 운동방정식은

 $M{\ddot {x}}=\rho xg$

 가 된다.

 ${\ddot {x}}={\frac {g}{L}}x$ 

 ${\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}={\frac {g}{L}}x$

 $vdv={\frac {g}{L}}xdx$

 양변을 적분 

 ${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {g}{L}}{\frac {x^{2}}{2}}$

 $v^{2}={\frac {g}{L}}x^{2}$

 예를들어 $x=L$이면

 $v^{2}=gL$

 가 되는데, 

 에너지 보존이 성립한다.  $-{\frac {L}{2}}Mg={\frac {1}{2}}Mv^{2}$

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