역학, Marion, Variation Principle

  Shortest time projectile : Cycloid

  $\int dt=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}/v$

  축을 어떻게 잡느냐에 따라서 

  $v={\sqrt {2gy}}$
  도 되고

  $v={\sqrt {2gx}}$
  도 된다.

  $\int dx{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {x}}}$    x가 독립변수 
   
  $\int dy{\frac {\sqrt {x'^{2}+1}}{\sqrt {x}}}$   y가 독립변수 

  이 둘의 해는 cycloid가 된다.

  둘의 오일러 방정식은 다르지만, 해들의 관계는 역함수이다.