역학, falling chain3

그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.

 위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.

 내려온 길이를 $x$라고 하면

 중력은 $\rho gx$가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension $T$를 작용한다고 하면

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-T$

 가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다. 
 따라서 $T={\dot {M}}v$가 된다.

 내려가는 부분의 운동방정식은 따라서

 $\rho x{\ddot {x}}=\rho gx-\rho {\dot {x}}^{2}$

 ${\ddot {x}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$

 이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.

 ${\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{x}}$ 

 $v{\frac {dv}{dx}}=g-{\frac {v^{2}}{x}}$

 $d(v^{2})=2vdv$의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.

 ${\frac {1}{2}}{\frac {du}{dx}}=g-u/x$

 ${\frac {du}{dx}}+{\frac {2}{x}}u=2g$ 

 $y'+Py=Q$

 $Iy'+IPy=IQ$

 $I=e^{\int Pdx}$ 

 $d/dx(Iy)=IQ$

 $Iy=\int IQdx$ 

 $y={\frac {\int IQdx}{I}}$
 
 여기서 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   I = e^{ \int  \frac{2}{x}  dx}   =  x^2   }

 이므로 
 
 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   u (x)  =  \frac{1}{x^2}  \int x^2  2 g  dx }

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   v (x)  = \sqrt{ \frac{2}{3} g x }  }
 

 초기조건 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle   x= 0 }
 , 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  v= 0 }
 임을 상기하라. 

 L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  \sqrt{ \frac{2}{3} g L } }

 가 된다. 에너지 보존으로 생각하면

 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  0 =  \frac{1}{2} M v^2  -  M g L/2 }

가 되므로, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle  v  = \sqrt{gL} }
 가 되어야 될 것 같은데,
이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.

그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?