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| Mahan 책에서는 second quantization 부분을 알아서 알고 있는 것으로 놓고 시작한다. | | |
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| There are two ways to introduce the subject of creation and destruction operators for particles
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| The first is to describe their properties and then to omit any proofs.
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| The second way is to go through elaborate justification arguments.
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| These tend to leave the reader more confused than convinced.
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| Here an intermediate approach is tried. A short justification will be attempted.
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| Our discussion follows Schiff (1968).
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| (Mahan, p. 11)
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| Fetter and Walecka, 책에서는 이 부분을 길게 설명하고 있다.
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| QFTGA책에서는 입자들이 모두 다른 상태에 있을 때를 기준으로 설명한다.
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| 4장에서 먼저 N 입자의 state를 다음과 같이 쓴다.
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| <math> | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 로 쓰고 이것은 symmetrized wave function이다.
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| <math> | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_P \xi^P | \phi_{ P1 } \cdots \phi_{PN} \rangle </math>
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| 결론은
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| <math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta } | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = \sum_k \langle \beta | \phi_k \rangle | \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \alpha \cdots \phi_N \rangle </math>
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| 와
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| <math> | \alpha \rangle \langle \beta | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>
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| 가 동일하다는 것이다.
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| Act of <math> a^{\dagger } </math>
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| <math> a^{\dagger }_{\alpha} | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle = | \alpha \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math>
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| <math> \langle \chi_1 \dots \chi_{N -1 } | a_{\phi} | \phi_1 \cdots \phi_N \rangle </math> 은, 다음의 conjugate이다.
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| <math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N | a^{\dagger}_{\phi} | \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>
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| 또한 정의에 의해서
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| <math> \langle \phi_1 \cdots \phi_N | \phi \chi_1 \dots \chi_{N -1 } \rangle </math>
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| 이것은
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| <math> \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi_k | \phi \rangle \langle \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N | \chi_1 \cdots \chi_{N-1} \rangle </math>
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| conjugate를 취하면
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| <math> \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi | \phi_k \rangle \langle \chi_1 \cdots \chi_{N-1} | \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>
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| 따라서
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| <math> a_{\phi} | \phi_1 \dots \phi_{N } \rangle = \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi | \phi_k \rangle | \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>
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| <math> a^{\dagger}_{\phi ' } a_{\phi} | \phi_1 \dots \phi_{N } \rangle \sum_{k} \xi^{k-1} \langle \phi | \phi_k \rangle | \phi' \phi_1 \cdots ({\rm no } \phi_k ) \cdots \phi_N \rangle </math>
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| 이는
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| <math> \sum_{k} \langle \phi | \phi_k \rangle | \phi_1 \cdots \phi_{k-1} \phi' \phi_{k+1} \cdots \phi_N \rangle </math>
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| 책에 나와 있는 내용으로는 <math> a^{\dagger}_{\alpha} a_{\beta} </math> 와 <math> | \alpha \rangle \langle \beta | </math> 가 같다고 해놓았다.
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| 과연 그런가?
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| 그렇지 않은 것으로 보인다. 왜냐면 single state가 어디에 가서 달라 붙는지 정의가 안되기 때문이다.
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| Field operator로 보면
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| <math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) V(x,y) \psi(y) </math>
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| 에서 <math> V </math> 가 로컬이면
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| <math> \int dx {\psi}^{\dagger} (x) V(x) \psi(y) </math>
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| 그다음
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| two-body operator를 생각해보면
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| <math> \int dx \int dy {\psi}^{\dagger} (x) {\psi}^{\dagger} (y) V(x,y) \psi(y) \psi(x) </math>
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| 형태가 되는데, x를 먼저 없애고, y를 없애면, y먼저 살리고, x를 살려야 무한대 항들이 나오지 않는다.
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| 또한 중간에 sign변화도 없다. 2을 없애고 1를 없애면 2가 1보다 뒤에 있으면, 부호변화가 잘 이루어지는데,
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| 이때, 1을 채우고, 다시 2를 채우면, 역시 같은 부호변화가 있어서 상태의 부호가 변화하지 않는다.
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| 1이 없는 상태에서 2를 채우면 부호 변화가 있게 된다.
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| 이 형태로 양자 상태는 변화가 없으므로 유용하다.
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| Field operator는
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| <math> {\psi}^{\dagger} (x) = \frac{1}{\sqrt{ {\cal V} } } \sum_p e^{- ipx} a^{\dagger}_p </math>
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| 로 정의되는데, 이는 정말로 x에 입자를 생성하는 연산자가 된다.
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| [[ 2nd quantization ]] | | [[ 2nd quantization ]] |
