Vector potential from a magnetic dipole moment

 Magnetic Vector potential은 다음과 같이 구한다.

 ${\vec {A}}({\vec {r}})=k_{m}\int {\frac {{\vec {J}}({\vec {r}}')}{|r-r'|}}dV'$

 line current 에 의해서는

 ${\vec {A}}({\vec {r}})=k_{m}I\int {\frac {1}{|r-r'|}}d{\vec {\ell }}'$

 Magnetic Field는 $\nabla \times {\vec {A}}$ 이므로,

 ${\vec {B}}({\vec {r}})=k_{m}I\int \nabla \times {\frac {1}{|r-r'|}}d{\vec {\ell }}'$

 ${\vec {A}}$ 를 multipole expansion을 하고 dipole term만 keep하면

 ${\vec {A}}({\vec {r}})=k_{m}{\frac {{\vec {m}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}$