∫ ∇ × F → d V = ∫ n ^ × F → d A {\displaystyle \int \nabla \times {\vec {F}}dV=\int {\hat {n}}\times {\vec {F}}dA} 를 증명해 보자.
∇ × F → {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}} 의 z {\displaystyle z} 성분은
∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}
G → = ( F y − F x , 0 , 0 ) {\displaystyle {\vec {G}}=(F_{y}-F_{x},0,0)} 로 정의하면
∫ ∇ × F → d V = ∫ ∇ ⋅ G → d V = ∫ n ^ ⋅ G → d A {\displaystyle \int \nabla \times {\vec {F}}dV=\int \nabla \cdot {\vec {G}}dV=\int {\hat {n}}\cdot {\vec {G}}dA}
