역학, Marion, Perturbation thoery, Drag Force

 Marion에서 기술하고 있는 Perturbation theory는 학생들이 이해하기가 어렵게 기술되어 있다.

 일단 시작은, 

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle y = - \frac{g}{k} t + \frac{ kV + g } {k^2} ( 1- e^{-kt } ) }

에서 original position으로 돌아오는 것을 설명하고 있다. 따라서 이 때의 시간을 $T$라고 하면 해는

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 0 = - \frac{g}{k} T + \frac{ kV + g } {k^2} ( 1- e^{-kT } ) }

이다.

이 식은 Self-consistent equation이라고 볼 수 있다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle T = \frac{ kV+ g} { gk } ( 1- e^{-kT} ) }

가 된다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{g}{ g+ kV} = ( 1- \frac{1}{2} kT + \frac{1}{6} k^2 T^2 ) } 와 같이 전개할 수 있다.

주의할 점은 오른쪽 식이 모두 T를 포함해서 T의 차원이 하나씩 낮아진다는 점이다.

물리적으로 중요한 포인트는 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle k<<1 } 라는 점이다.

왼쪽식을 좀더 간단히 하면

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle \frac{1}{ 1 + kV/g } = ( 1- \frac{1}{2} kT + \frac{1}{6} k^2 T^2 ) }

물론 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle T} 에 대한 이차식이므로 근의 공식을 써도 된다.

그런데 우리는 $T$를 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle k} 대한 order로 풀고 싶다.

따라서 왼쪽 식을 전개해서 차수 맞추기를 하는 것이 좋겠다.

구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 1 - kV/g + (kV/g)^2 = ( 1- \frac{1}{2} kT + \frac{1}{6} k^2 T^2 ) }

이므로

먼저 order(k)의 양변이 같다면, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle T = 2V/g } 가 된다.

다음 차원은 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle T= 2V/g + \alpha k } 로 놓고 양변을 전개하면, 구문 분석 실패 (MathML을 사용하되 미지원 시 SVG나 PNG 사용 (최신 브라우저나 접근성 도구에 권장): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle k^2 } 까지 풀어야 됨을 알 수 있다.

(Marion책은 이것을 정신없이 설명해 놔서 도대체 알 수가 없을 것이다.)