역학, falling chain5

falling chain3의 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,

 라그랑지안을 사용하면, 에너지 보존이 되어서 해가

 $v^{2}=gx$

 로 나오는 해다.

 $L={\frac {1}{2}}\rho x{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}\rho gx^{2}$

에서 

 ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\rho x{\dot {x}}$  

 ${\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $\rho {\dot {x}}^{2}+\rho x{\ddot {x}}={\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+\rho gx$

 $x{\ddot {x}}=gx-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

 가 되어 위와 다른 운동 방정식이 된다. (2 factor)

 도대체 어느 식이 맞는 식일까?