Volume integration of a curl of a vector

  $\int \nabla \times {\vec {F}}dV=\int {\hat {n}}\times {\vec {F}}dA$를 증명해 보자.

  $\nabla \times {\vec {F}}$의 $z$ 성분은

  ${\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$

  ${\vec {G}}=(F_{y},-F_{x},0)$로 정의하면

  $\int (\nabla \times {\vec {F}})_{z}dV=\int \nabla \cdot {\vec {G}}dV=\int {\hat {n}}\cdot {\vec {G}}dA=\int ({\hat {n}}\times {\vec {F}})_{z}dA$