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역학, falling chains (원본 보기)

2025년 12월 8일 (월) 10:33 판

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  이를 제일 먼저 적용할 수 있는 예를 생각해 보면, 끈이나 체인이 똑바로 서있다가 두르르르 표면으로 떨어져서 정지하는 경우를
생각해 볼 수 있다. 이 경우 처음 체인의 에너지는 (길이
<math> L </math> , 선밀도
<math> \rho </math>
라고 하자.
<math> \rho L </math>의 질량이 높이 <math> L/2 </math>에 있으므로
  위치에너지는 <math> MgL /2 </math>
이다. 마지막 상태는 위치에너지가 0이다.
<math> x </math> 를 체인이 떨어진 거리라고 하자.
  이 경우도 마찬가지로 에너지의 손실이 존재한다.
  이 경우 아래에 떨어지는 줄이 떨어지고 있는 줄에 주고 있는 힘이 있기 때문에 v의 속력인 작은 질량 부분 <math> \Delta M </math>이 v에서 0이 되므로
위 방향으로 힘이 작용하게 된다. 이 힘을 위에서 계산한 바와 같이 <math>  \dot{M} v = ( \rho dx )/dt  v  =  \rho v^2 </math>이다.


    
    
  그럼 <math> v </math>는 어떻게 계산해야 할까? 아래쪽 작은 부분을 제외한 부분은 자유 낙하를 하고 있으므로
 
  <math>  v = \sqrt{2gx} </math>  이다.
  따라서 이 힘은 <math > \frac{ 2g M x }{L} </math>
  가 된다.
  여기서 생각해 볼 수 있는 것은 이 힘이 한 일이다.
  <math> - \int_0^L dx F  = - g M L </math>
  바닥이 한 일이 역학적 에너지 감소량이 아니라 바닥이 한 일이 역학적 에너지 감소량의 2배이다. 따라서 바닥이 한일의 반은 에너지가 소모되었다고 할 수 있다.
이것은 열에너지의 형태로 소진되었다. 따라서 체인이 뜨거워진다.
  또한 체인이 바닥에 닿으면서 결국은 한 몸이 되는 과정이므로 비탄성 충돌로 생각할 수 있다. 여기서 energy loss가 생긴다.
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  그 다음으로 체인이 위에 정지해 있고 꼬다리가 조금 튀어나와서 주르르륵 내려가는 운동을 생각해보자.
  위의 경우는 장력이 없으므로 free fall이 맞다. 그러나 이번 경우는 다르다.
  내려온 길이를 <math> x </math>라고 하면
  중력은 <math> \rho g x </math>가 작용하고, 그 때 정지해 있는 부분이 내려가는 줄에 tension <math> T </math>를 작용한다고 하면
  <math>  \rho x \ddot{x} =  \rho g x -  T </math>
  가 된다. 거꾸로 내려가는 줄은 정지해 있는 줄의 일부분은 0의 속력에서 v의 속력으로 가속한다.
  따라서 <math>  T =  \dot{M} v </math>가 된다.
  내려가는 부분의 운동방정식은 따라서
  <math>  \rho x \ddot{x} = \rho g x  - \rho \dot{x}^2 </math>
  <math>  \ddot{x} =  g -  \frac{ \dot{x}^2  }{x} </math>
  이 문제가 가장 nontrivial한 미분 방정식을 푸는 문제가 된다.
  <math>  \frac{dx}{dt} \frac{dv}{dx}  = g - \frac{ \dot{x}^2 }{x} </math>
  <math>  v \frac{dv}{dx}  =  g - \frac{v^2} {x} </math>
  <math>    d(v^2 ) = 2v dv </math>의 성질를 이용하면, v^2 = u로 놓는 것이 미분 방정식을 푸는 요령이 된다.
  <math>  \frac{1}{2} \frac{d u}{dx}  = g - u/x </math>
  <math>  \frac{du}{dx}  + \frac{2}{x} u  = 2g </math>
  <math>  y'  + P y = Q </math>
  <math> I y'  + I P y  = IQ </math>
  <math>  I = e^{ \int P dx }  </math>
  <math>  d/dx ( I y )  = IQ </math>
  <math>  Iy  = \int IQ dx  </math>
  <math>  y=  \frac{ \int IQ dx }{ I } </math>
 
  여기서 <math>  I = e^{ \int  \frac{2}{x}  dx}  =  x^2  </math>
  이므로
 
  <math>  u (x)  =  \frac{1}{x^2}  \int x^2  2 g  dx </math>
  <math>  v (x)  = \sqrt{ \frac{2}{3} g x }  </math>
  초기조건 <math>  x= 0 </math> , <math> v= 0 </math> 임을 상기하라.
  L만큼 다 떨어졌을 때, 최종 속도는 <math> \sqrt{ \frac{2}{3} g L } </math>
  가 된다. 에너지 보존으로 생각하면
  <math> 0 =  \frac{1}{2} M v^2  -  M g L/2 </math>
가 되므로, <math> v  = \sqrt{gL} </math> 가 되어야 될 것 같은데,
이 경우는 속도가 그만큼 늘어나지 않은 셈이다.
그러면 에너지는 어디에서 소비된 것일까?
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   이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,
   이 문제를 다르게 보는 시각이 있다. 1989년에 발표된 AM J PHYS의 논문인데,
Jwlee
관리자

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